Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39423 / 18942
↖ ↑ ↗
← N 60.245264°
E 36.557007°		 ← 303.16 m → N 60.245264°
E 36.562500°		 →
↑
303.20 m
↓
↑
303.20 m
↓
N 60.242538°
E 36.557007°		 ← 303.18 m →
91 920 m²		 N 60.242538°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601554870605469 y=0.289039611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601554870605469 × 216)
    floor (0.601554870605469 × 65536)
    floor (39423.5)     		tx = 39423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289039611816406 × 216)
    floor (0.289039611816406 × 65536)
    floor (18942.5)     		ty = 18942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39423 / 18942 ti = "16/39423/18942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39423/18942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39423 ÷ 216
    39423 ÷ 65536     		x = 0.601547241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18942 ÷ 216
    18942 ÷ 65536     		y = 0.289031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601547241210938 × 2 - 1) × π
    0.203094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63804013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289031982421875 × 2 - 1) × π
    0.42193603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32555114829379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63804013} λ = 0.63804013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32555114829379))-π/2
    2×atan(3.76425944855331)-π/2
    2×1.3111372712382-π/2
    2.62227454247639-1.57079632675     		φ = 1.05147822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63804013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.557007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05147822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.245264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39423 KachelY 18942 0.63804013 1.05147822 36.557007 60.245264
    Oben rechts KachelX + 1 39424 KachelY 18942 0.63813601 1.05147822 36.562500 60.245264
    Unten links KachelX 39423 KachelY + 1 18943 0.63804013 1.05143063 36.557007 60.242538
    Unten rechts KachelX + 1 39424 KachelY + 1 18943 0.63813601 1.05143063 36.562500 60.242538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05147822-1.05143063) × R
    4.75899999998752e-05 × 6371000     		dl = 303.195889999205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05147822-1.05143063) × R
    4.75899999998752e-05 × 6371000     		dr = 303.195889999205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63804013-0.63813601) × cos(1.05147822) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.496288262368468 × 6371000     		do = 303.158419574208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63804013-0.63813601) × cos(1.05143063) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.496329577436017 × 6371000     		du = 303.183656944367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05147822)-sin(1.05143063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496288262368468-0.496329577436017)×R²
    abs(0.63813601-0.63804013)×4.13150675486196e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.13150675486196e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.13150675486196e-05×40589641000000     		ar = 91920.2127842769m²