Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39421 / 18943
↖ ↑ ↗
← N 60.242538°
E 36.546021°		 ← 303.15 m → N 60.242538°
E 36.551514°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
N 60.239811°
E 36.546021°		 ← 303.18 m →
91 899 m²		 N 60.239811°
E 36.551514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601524353027344 y=0.289054870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601524353027344 × 216)
    floor (0.601524353027344 × 65536)
    floor (39421.5)     		tx = 39421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289054870605469 × 216)
    floor (0.289054870605469 × 65536)
    floor (18943.5)     		ty = 18943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39421 / 18943 ti = "16/39421/18943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39421/18943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39421 ÷ 216
    39421 ÷ 65536     		x = 0.601516723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18943 ÷ 216
    18943 ÷ 65536     		y = 0.289047241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601516723632812 × 2 - 1) × π
    0.203033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63784839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289047241210938 × 2 - 1) × π
    0.421905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32545527449455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63784839} λ = 0.63784839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32545527449455))-π/2
    2×atan(3.76389857199823)-π/2
    2×1.3111134797273-π/2
    2.62222695945459-1.57079632675     		φ = 1.05143063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63784839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.546021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05143063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.242538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39421 KachelY 18943 0.63784839 1.05143063 36.546021 60.242538
    Oben rechts KachelX + 1 39422 KachelY 18943 0.63794426 1.05143063 36.551514 60.242538
    Unten links KachelX 39421 KachelY + 1 18944 0.63784839 1.05138305 36.546021 60.239811
    Unten rechts KachelX + 1 39422 KachelY + 1 18944 0.63794426 1.05138305 36.551514 60.239811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05143063-1.05138305) × R
    4.7579999999936e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05143063-1.05138305) × R
    4.7579999999936e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63784839-0.63794426) × cos(1.05143063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.496329577436017 × 6371000     		do = 303.152035787181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63784839-0.63794426) × cos(1.05138305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.496370882698369 × 6371000     		du = 303.177264536262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05143063)-sin(1.05138305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496329577436017-0.496370882698369)×R²
    abs(0.63794426-0.63784839)×4.13052623517984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13052623517984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13052623517984e-05×40589641000000     		ar = 91898.9613195266m²