Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39420 / 18944
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
E 36.540527°		 ← 303.21 m → N 60.239811°
E 36.546021°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N 60.237084°
E 36.540527°		 ← 303.23 m →
91 955 m²		 N 60.237084°
E 36.546021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601509094238281 y=0.289070129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601509094238281 × 216)
    floor (0.601509094238281 × 65536)
    floor (39420.5)     		tx = 39420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289070129394531 × 216)
    floor (0.289070129394531 × 65536)
    floor (18944.5)     		ty = 18944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39420 / 18944 ti = "16/39420/18944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39420/18944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39420 ÷ 216
    39420 ÷ 65536     		x = 0.60150146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18944 ÷ 216
    18944 ÷ 65536     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60150146484375 × 2 - 1) × π
    0.2030029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63775251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63775251} λ = 0.63775251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63775251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.540527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39420 KachelY 18944 0.63775251 1.05138305 36.540527 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 39421 KachelY 18944 0.63784839 1.05138305 36.546021 60.239811
    Unten links KachelX 39420 KachelY + 1 18945 0.63775251 1.05133545 36.540527 60.237084
    Unten rechts KachelX + 1 39421 KachelY + 1 18945 0.63784839 1.05133545 36.546021 60.237084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.05133545) × R
    4.76000000000365e-05 × 6371000     		dl = 303.259600000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.05133545) × R
    4.76000000000365e-05 × 6371000     		dr = 303.259600000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63775251-0.63784839) × cos(1.05138305) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 303.208888325357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63775251-0.63784839) × cos(1.05133545) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.496412204198747 × 6371000     		du = 303.234129625019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.05133545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.496412204198747)×R²
    abs(0.63784839-0.63775251)×4.13215003782774e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.13215003782774e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.13215003782774e-05×40589641000000     		ar = 91954.8335405051m²