Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3898 / 4010
↖ ↑ ↗
← N  3.776559°
W  8.701172°		 ← 4 875.88 m → N  3.776559°
W  8.657227°		 →
↑
4 875.98 m
↓
↑
4 875.98 m
↓
N  3.732708°
W  8.701172°		 ← 4 876.13 m →
23 775 308 m²		 N  3.732708°
W  8.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47589111328125 y=0.48956298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47589111328125 × 213)
    floor (0.47589111328125 × 8192)
    floor (3898.5)     		tx = 3898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48956298828125 × 213)
    floor (0.48956298828125 × 8192)
    floor (4010.5)     		ty = 4010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3898 / 4010 ti = "13/3898/4010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3898/4010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3898 ÷ 213
    3898 ÷ 8192     		x = 0.475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4010 ÷ 213
    4010 ÷ 8192     		y = 0.489501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489501953125 × 2 - 1) × π
    0.02099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0659611738771973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15186410} λ = -0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0659611738771973))-π/2
    2×atan(1.06818524286944)-π/2
    2×0.818354860573606-π/2
    1.63670972114721-1.57079632675     		φ = 0.06591339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06591339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.776559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3898 KachelY 4010 -0.15186410 0.06591339 -8.701172 3.776559
    Oben rechts KachelX + 1 3899 KachelY 4010 -0.15109711 0.06591339 -8.657227 3.776559
    Unten links KachelX 3898 KachelY + 1 4011 -0.15186410 0.06514805 -8.701172 3.732708
    Unten rechts KachelX + 1 3899 KachelY + 1 4011 -0.15109711 0.06514805 -8.657227 3.732708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06591339-0.06514805) × R
    0.000765340000000003 × 6371000     		dl = 4875.98114000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06591339-0.06514805) × R
    0.000765340000000003 × 6371000     		dr = 4875.98114000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15186410--0.15109711) × cos(0.06591339) × R
    0.000766989999999995 × 0.997828498867624 × 6371000     		do = 4875.88226428738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15186410--0.15109711) × cos(0.06514805) × R
    0.000766989999999995 × 0.997878616260019 × 6371000     		du = 4876.12716258904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06591339)-sin(0.06514805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997828498867624-0.997878616260019)×R²
    abs(-0.15109711--0.15186410)×5.01173923954656e-05×R²
    0.000766989999999995×5.01173923954656e-05×6371000²
    0.000766989999999995×5.01173923954656e-05×40589641000000     		ar = 23775308.1817989m²