Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38922 / 18438
↖ ↑ ↗
← N 61.590719°
E 33.804932°		 ← 290.59 m → N 61.590719°
E 33.810425°		 →
↑
290.58 m
↓
↑
290.58 m
↓
N 61.588106°
E 33.804932°		 ← 290.62 m →
84 444 m²		 N 61.588106°
E 33.810425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593910217285156 y=0.281349182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593910217285156 × 216)
    floor (0.593910217285156 × 65536)
    floor (38922.5)     		tx = 38922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281349182128906 × 216)
    floor (0.281349182128906 × 65536)
    floor (18438.5)     		ty = 18438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38922 / 18438 ti = "16/38922/18438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38922/18438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38922 ÷ 216
    38922 ÷ 65536     		x = 0.593902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18438 ÷ 216
    18438 ÷ 65536     		y = 0.281341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593902587890625 × 2 - 1) × π
    0.18780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59000736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281341552734375 × 2 - 1) × π
    0.43731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37387154311081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59000736} λ = 0.59000736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37387154311081))-π/2
    2×atan(3.95061610662527)-π/2
    2×1.32287858580865-π/2
    2.6457571716173-1.57079632675     		φ = 1.07496084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59000736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.804932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07496084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.590719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38922 KachelY 18438 0.59000736 1.07496084 33.804932 61.590719
    Oben rechts KachelX + 1 38923 KachelY 18438 0.59010323 1.07496084 33.810425 61.590719
    Unten links KachelX 38922 KachelY + 1 18439 0.59000736 1.07491523 33.804932 61.588106
    Unten rechts KachelX + 1 38923 KachelY + 1 18439 0.59010323 1.07491523 33.810425 61.588106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07496084-1.07491523) × R
    4.56099999999182e-05 × 6371000     		dl = 290.581309999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07496084-1.07491523) × R
    4.56099999999182e-05 × 6371000     		dr = 290.581309999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59000736-0.59010323) × cos(1.07496084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475766687627302 × 6371000     		do = 290.59247417616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59000736-0.59010323) × cos(1.07491523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475806804389457 × 6371000     		du = 290.616977003856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07496084)-sin(1.07491523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475766687627302-0.475806804389457)×R²
    abs(0.59010323-0.59000736)×4.01167621550402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01167621550402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01167621550402e-05×40589641000000     		ar = 84444.3018686156m²