Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3891 / 4020
↖ ↑ ↗
← N  3.337954°
W  9.008789°		 ← 4 878.20 m → N  3.337954°
W  8.964844°		 →
↑
4 878.34 m
↓
↑
4 878.34 m
↓
N  3.294082°
W  9.008789°		 ← 4 878.42 m →
23 798 055 m²		 N  3.294082°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47503662109375 y=0.49078369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47503662109375 × 213)
    floor (0.47503662109375 × 8192)
    floor (3891.5)     		tx = 3891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49078369140625 × 213)
    floor (0.49078369140625 × 8192)
    floor (4020.5)     		ty = 4020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3891 / 4020 ti = "13/3891/4020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3891/4020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3891 ÷ 213
    3891 ÷ 8192     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4020 ÷ 213
    4020 ÷ 8192     		y = 0.49072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0582912699379883))-π/2
    2×atan(1.06002370378788)-π/2
    2×0.814527306849969-π/2
    1.62905461369994-1.57079632675     		φ = 0.05825829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05825829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.337954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3891 KachelY 4020 -0.15723303 0.05825829 -9.008789 3.337954
    Oben rechts KachelX + 1 3892 KachelY 4020 -0.15646604 0.05825829 -8.964844 3.337954
    Unten links KachelX 3891 KachelY + 1 4021 -0.15723303 0.05749258 -9.008789 3.294082
    Unten rechts KachelX + 1 3892 KachelY + 1 4021 -0.15646604 0.05749258 -8.964844 3.294082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05825829-0.05749258) × R
    0.000765709999999996 × 6371000     		dl = 4878.33840999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05825829-0.05749258) × R
    0.000765709999999996 × 6371000     		dr = 4878.33840999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15646604) × cos(0.05825829) × R
    0.000766989999999995 × 0.998303465745026 × 6371000     		do = 4878.20318674678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15646604) × cos(0.05749258) × R
    0.000766989999999995 × 0.998347756807638 × 6371000     		du = 4878.41961472704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05825829)-sin(0.05749258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998303465745026-0.998347756807638)×R²
    abs(-0.15646604--0.15723303)×4.42910626126114e-05×R²
    0.000766989999999995×4.42910626126114e-05×6371000²
    0.000766989999999995×4.42910626126114e-05×40589641000000     		ar = 23798055.0449123m²