Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38907 / 18437
↖ ↑ ↗
← N 61.593333°
E 33.722534°		 ← 290.60 m → N 61.593333°
E 33.728027°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
N 61.590719°
E 33.722534°		 ← 290.62 m →
84 465 m²		 N 61.590719°
E 33.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593681335449219 y=0.281333923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593681335449219 × 216)
    floor (0.593681335449219 × 65536)
    floor (38907.5)     		tx = 38907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281333923339844 × 216)
    floor (0.281333923339844 × 65536)
    floor (18437.5)     		ty = 18437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38907 / 18437 ti = "16/38907/18437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38907/18437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38907 ÷ 216
    38907 ÷ 65536     		x = 0.593673706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18437 ÷ 216
    18437 ÷ 65536     		y = 0.281326293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593673706054688 × 2 - 1) × π
    0.187347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58856925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281326293945312 × 2 - 1) × π
    0.437347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37396741691005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58856925} λ = 0.58856925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37396741691005))-π/2
    2×atan(3.95099488535794)-π/2
    2×1.32290139162679-π/2
    2.64580278325358-1.57079632675     		φ = 1.07500646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58856925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.722534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07500646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.593333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38907 KachelY 18437 0.58856925 1.07500646 33.722534 61.593333
    Oben rechts KachelX + 1 38908 KachelY 18437 0.58866513 1.07500646 33.728027 61.593333
    Unten links KachelX 38907 KachelY + 1 18438 0.58856925 1.07496084 33.722534 61.590719
    Unten rechts KachelX + 1 38908 KachelY + 1 18438 0.58866513 1.07496084 33.728027 61.590719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07500646-1.07496084) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dl = 290.645020000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07500646-1.07496084) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dr = 290.645020000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58856925-0.58866513) × cos(1.07500646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.47572656107949 × 6371000     		do = 290.598273910527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58856925-0.58866513) × cos(1.07496084) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.475766687627302 × 6371000     		du = 290.622785271645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07500646)-sin(1.07496084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47572656107949-0.475766687627302)×R²
    abs(0.58866513-0.58856925)×4.01265478114921e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.01265478114921e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.01265478114921e-05×40589641000000     		ar = 84464.5032001333m²