Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38906 / 18442
↖ ↑ ↗
← N 61.580264°
E 33.717041°		 ← 290.69 m → N 61.580264°
E 33.722534°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
N 61.577650°
E 33.717041°		 ← 290.72 m →
84 510 m²		 N 61.577650°
E 33.722534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593666076660156 y=0.281410217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593666076660156 × 216)
    floor (0.593666076660156 × 65536)
    floor (38906.5)     		tx = 38906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281410217285156 × 216)
    floor (0.281410217285156 × 65536)
    floor (18442.5)     		ty = 18442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38906 / 18442 ti = "16/38906/18442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38906/18442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38906 ÷ 216
    38906 ÷ 65536     		x = 0.593658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18442 ÷ 216
    18442 ÷ 65536     		y = 0.281402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593658447265625 × 2 - 1) × π
    0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281402587890625 × 2 - 1) × π
    0.43719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.37348804791385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58847338} λ = 0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37348804791385))-π/2
    2×atan(3.94910135479193)-π/2
    2×1.32278734330247-π/2
    2.64557468660494-1.57079632675     		φ = 1.07477836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07477836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.580264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38906 KachelY 18442 0.58847338 1.07477836 33.717041 61.580264
    Oben rechts KachelX + 1 38907 KachelY 18442 0.58856925 1.07477836 33.722534 61.580264
    Unten links KachelX 38906 KachelY + 1 18443 0.58847338 1.07473273 33.717041 61.577650
    Unten rechts KachelX + 1 38907 KachelY + 1 18443 0.58856925 1.07473273 33.722534 61.577650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07477836-1.07473273) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dl = 290.708730000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07477836-1.07473273) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dr = 290.708730000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58847338-0.58856925) × cos(1.07477836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.47592718391613 × 6371000     		do = 290.690503346507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58847338-0.58856925) × cos(1.07473273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475967314306946 × 6371000     		du = 290.715014498422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07477836)-sin(1.07473273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47592718391613-0.475967314306946)×R²
    abs(0.58856925-0.58847338)×4.01303908151296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01303908151296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01303908151296e-05×40589641000000     		ar = 84509.8298685661m²