Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3860 / 3314
↖ ↑ ↗
← N 32.472695°
W 10.371094°		 ← 4 122.48 m → N 32.472695°
W 10.327148°		 →
↑
4 123.37 m
↓
↑
4 123.37 m
↓
N 32.435613°
W 10.371094°		 ← 4 124.17 m →
17 002 019 m²		 N 32.435613°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47125244140625 y=0.40460205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47125244140625 × 213)
    floor (0.47125244140625 × 8192)
    floor (3860.5)     		tx = 3860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40460205078125 × 213)
    floor (0.40460205078125 × 8192)
    floor (3314.5)     		ty = 3314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3860 / 3314 ti = "13/3860/3314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3860/3314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3860 ÷ 213
    3860 ÷ 8192     		x = 0.47119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3314 ÷ 213
    3314 ÷ 8192     		y = 0.404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    0.19091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.599786488046143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18100973} λ = -0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599786488046143))-π/2
    2×atan(1.82172979777511)-π/2
    2×1.06877588595569-π/2
    2.13755177191138-1.57079632675     		φ = 0.56675545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56675545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.472695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3860 KachelY 3314 -0.18100973 0.56675545 -10.371094 32.472695
    Oben rechts KachelX + 1 3861 KachelY 3314 -0.18024274 0.56675545 -10.327148 32.472695
    Unten links KachelX 3860 KachelY + 1 3315 -0.18100973 0.56610824 -10.371094 32.435613
    Unten rechts KachelX + 1 3861 KachelY + 1 3315 -0.18024274 0.56610824 -10.327148 32.435613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56675545-0.56610824) × R
    0.000647210000000009 × 6371000     		dl = 4123.37491000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56675545-0.56610824) × R
    0.000647210000000009 × 6371000     		dr = 4123.37491000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18100973--0.18024274) × cos(0.56675545) × R
    0.000766989999999995 × 0.8436474038681 × 6371000     		do = 4122.47737812737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18100973--0.18024274) × cos(0.56610824) × R
    0.000766989999999995 × 0.843994712660805 × 6371000     		du = 4124.17450021248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56675545)-sin(0.56610824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8436474038681-0.843994712660805)×R²
    abs(-0.18024274--0.18100973)×0.000347308792704948×R²
    0.000766989999999995×0.000347308792704948×6371000²
    0.000766989999999995×0.000347308792704948×40589641000000     		ar = 17002019.3168104m²