Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3836 / 3333
↖ ↑ ↗
← N 31.765538°
W 11.425781°		 ← 4 154.54 m → N 31.765538°
W 11.381836°		 →
↑
4 155.42 m
↓
↑
4 155.42 m
↓
N 31.728167°
W 11.425781°		 ← 4 156.22 m →
17 267 360 m²		 N 31.728167°
W 11.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46832275390625 y=0.40692138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46832275390625 × 213)
    floor (0.46832275390625 × 8192)
    floor (3836.5)     		tx = 3836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40692138671875 × 213)
    floor (0.40692138671875 × 8192)
    floor (3333.5)     		ty = 3333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3836 / 3333 ti = "13/3836/3333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3836/3333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3836 ÷ 213
    3836 ÷ 8192     		x = 0.46826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3333 ÷ 213
    3333 ÷ 8192     		y = 0.4068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46826171875 × 2 - 1) × π
    -0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.585213670561646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19941750} λ = -0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585213670561646))-π/2
    2×atan(1.79537456335012)-π/2
    2×1.0626047716208-π/2
    2.12520954324161-1.57079632675     		φ = 0.55441322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55441322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.765538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3836 KachelY 3333 -0.19941750 0.55441322 -11.425781 31.765538
    Oben rechts KachelX + 1 3837 KachelY 3333 -0.19865051 0.55441322 -11.381836 31.765538
    Unten links KachelX 3836 KachelY + 1 3334 -0.19941750 0.55376098 -11.425781 31.728167
    Unten rechts KachelX + 1 3837 KachelY + 1 3334 -0.19865051 0.55376098 -11.381836 31.728167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55441322-0.55376098) × R
    0.000652240000000082 × 6371000     		dl = 4155.42104000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55441322-0.55376098) × R
    0.000652240000000082 × 6371000     		dr = 4155.42104000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19941750--0.19865051) × cos(0.55441322) × R
    0.000766989999999995 × 0.850209493726849 × 6371000     		do = 4154.54298619052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19941750--0.19865051) × cos(0.55376098) × R
    0.000766989999999995 × 0.850552681019615 × 6371000     		du = 4156.21996859383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55441322)-sin(0.55376098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850209493726849-0.850552681019615)×R²
    abs(-0.19865051--0.19941750)×0.000343187292766167×R²
    0.000766989999999995×0.000343187292766167×6371000²
    0.000766989999999995×0.000343187292766167×40589641000000     		ar = 17267360.2325353m²