Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3823 / 3342
↖ ↑ ↗
← N 31.428663°
W 11.997070°		 ← 4 169.60 m → N 31.428663°
W 11.953125°		 →
↑
4 170.46 m
↓
↑
4 170.46 m
↓
N 31.391157°
W 11.997070°		 ← 4 171.26 m →
17 392 596 m²		 N 31.391157°
W 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46673583984375 y=0.40802001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46673583984375 × 213)
    floor (0.46673583984375 × 8192)
    floor (3823.5)     		tx = 3823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40802001953125 × 213)
    floor (0.40802001953125 × 8192)
    floor (3342.5)     		ty = 3342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3823 / 3342 ti = "13/3823/3342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3823/3342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3823 ÷ 213
    3823 ÷ 8192     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3342 ÷ 213
    3342 ÷ 8192     		y = 0.407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407958984375 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.578310757016357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578310757016357))-π/2
    2×atan(1.78302392469585)-π/2
    2×1.0596649888394-π/2
    2.11932997767881-1.57079632675     		φ = 0.54853365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54853365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.428663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3823 KachelY 3342 -0.20938838 0.54853365 -11.997070 31.428663
    Oben rechts KachelX + 1 3824 KachelY 3342 -0.20862139 0.54853365 -11.953125 31.428663
    Unten links KachelX 3823 KachelY + 1 3343 -0.20938838 0.54787905 -11.997070 31.391157
    Unten rechts KachelX + 1 3824 KachelY + 1 3343 -0.20862139 0.54787905 -11.953125 31.391157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54853365-0.54787905) × R
    0.00065459999999995 × 6371000     		dl = 4170.45659999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54853365-0.54787905) × R
    0.00065459999999995 × 6371000     		dr = 4170.45659999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20862139) × cos(0.54853365) × R
    0.000766990000000023 × 0.853290047661569 × 6371000     		do = 4169.59609232216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20862139) × cos(0.54787905) × R
    0.000766990000000023 × 0.853631197196795 × 6371000     		du = 4171.26311723693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54853365)-sin(0.54787905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853290047661569-0.853631197196795)×R²
    abs(-0.20862139--0.20938838)×0.000341149535226459×R²
    0.000766990000000023×0.000341149535226459×6371000²
    0.000766990000000023×0.000341149535226459×40589641000000     		ar = 17392596.2911518m²