Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38184 / 36624
↖ ↑ ↗
← S 20.715015°
E 29.750977°		 ← 571.30 m → S 20.715015°
E 29.756470°		 →
↑
571.29 m
↓
↑
571.29 m
↓
S 20.720153°
E 29.750977°		 ← 571.28 m →
326 372 m²		 S 20.720153°
E 29.756470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582649230957031 y=0.558845520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582649230957031 × 216)
    floor (0.582649230957031 × 65536)
    floor (38184.5)     		tx = 38184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558845520019531 × 216)
    floor (0.558845520019531 × 65536)
    floor (36624.5)     		ty = 36624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38184 / 36624 ti = "16/38184/36624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38184/36624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38184 ÷ 216
    38184 ÷ 65536     		x = 0.5826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36624 ÷ 216
    36624 ÷ 65536     		y = 0.558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5826416015625 × 2 - 1) × π
    0.165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51925250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51925250} λ = 0.51925250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369689369869873))-π/2
    2×atan(0.690948926860665)-π/2
    2×0.604625553957551-π/2
    1.2092511079151-1.57079632675     		φ = -0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51925250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.750977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38184 KachelY 36624 0.51925250 -0.36154522 29.750977 -20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 38185 KachelY 36624 0.51934837 -0.36154522 29.756470 -20.715015
    Unten links KachelX 38184 KachelY + 1 36625 0.51925250 -0.36163489 29.750977 -20.720153
    Unten rechts KachelX + 1 38185 KachelY + 1 36625 0.51934837 -0.36163489 29.756470 -20.720153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36154522--0.36163489) × R
    8.96699999999861e-05 × 6371000     		dl = 571.287569999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36154522--0.36163489) × R
    8.96699999999861e-05 × 6371000     		dr = 571.287569999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51925250-0.51934837) × cos(-0.36154522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 571.301174627714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51925250-0.51934837) × cos(-0.36163489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93531964355046 × 6371000     		du = 571.281799321368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36154522)-sin(-0.36163489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.93531964355046)×R²
    abs(0.51934837-0.51925250)×3.17218308849565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17218308849565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17218308849565e-05×40589641000000     		ar = 326371.725574047m²