Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38183 / 36623
↖ ↑ ↗
← S 20.709877°
E 29.745483°		 ← 571.38 m → S 20.709877°
E 29.750977°		 →
↑
571.35 m
↓
↑
571.35 m
↓
S 20.715015°
E 29.745483°		 ← 571.36 m →
326 453 m²		 S 20.715015°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582633972167969 y=0.558830261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582633972167969 × 216)
    floor (0.582633972167969 × 65536)
    floor (38183.5)     		tx = 38183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558830261230469 × 216)
    floor (0.558830261230469 × 65536)
    floor (36623.5)     		ty = 36623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38183 / 36623 ti = "16/38183/36623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38183/36623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38183 ÷ 216
    38183 ÷ 65536     		x = 0.582626342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36623 ÷ 216
    36623 ÷ 65536     		y = 0.558822631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582626342773438 × 2 - 1) × π
    0.165252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51915662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558822631835938 × 2 - 1) × π
    -0.117645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.369593496070633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51915662} λ = 0.51915662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369593496070633))-π/2
    2×atan(0.691015173934992)-π/2
    2×0.604670392562311-π/2
    1.20934078512462-1.57079632675     		φ = -0.36145554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51915662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.745483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36145554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.709877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38183 KachelY 36623 0.51915662 -0.36145554 29.745483 -20.709877
    Oben rechts KachelX + 1 38184 KachelY 36623 0.51925250 -0.36145554 29.750977 -20.709877
    Unten links KachelX 38183 KachelY + 1 36624 0.51915662 -0.36154522 29.745483 -20.715015
    Unten rechts KachelX + 1 38184 KachelY + 1 36624 0.51925250 -0.36154522 29.750977 -20.715015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36145554--0.36154522) × R
    8.96799999999809e-05 × 6371000     		dl = 571.351279999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36145554--0.36154522) × R
    8.96799999999809e-05 × 6371000     		dr = 571.351279999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51915662-0.51925250) × cos(-0.36145554) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.935383083227703 × 6371000     		do = 571.380140756892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51915662-0.51925250) × cos(-0.36154522) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.935351365381345 × 6371000     		du = 571.360765863502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36145554)-sin(-0.36154522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935383083227703-0.935351365381345)×R²
    abs(0.51925250-0.51915662)×3.17178463578038e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.17178463578038e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.17178463578038e-05×40589641000000     		ar = 326453.240071664m²