Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38182 / 37158
↖ ↑ ↗
← S 23.433009°
E 29.739990°		 ← 560.41 m → S 23.433009°
E 29.745483°		 →
↑
560.46 m
↓
↑
560.46 m
↓
S 23.438049°
E 29.739990°		 ← 560.39 m →
314 082 m²		 S 23.438049°
E 29.745483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582618713378906 y=0.566993713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582618713378906 × 216)
    floor (0.582618713378906 × 65536)
    floor (38182.5)     		tx = 38182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566993713378906 × 216)
    floor (0.566993713378906 × 65536)
    floor (37158.5)     		ty = 37158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38182 / 37158 ti = "16/38182/37158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38182/37158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38182 ÷ 216
    38182 ÷ 65536     		x = 0.582611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37158 ÷ 216
    37158 ÷ 65536     		y = 0.566986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582611083984375 × 2 - 1) × π
    0.16522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51906075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.13397216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.420885978664093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51906075} λ = 0.51906075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420885978664093))-π/2
    2×atan(0.656464948152392)-π/2
    2×0.580906582377615-π/2
    1.16181316475523-1.57079632675     		φ = -0.40898316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51906075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.739990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40898316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.433009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38182 KachelY 37158 0.51906075 -0.40898316 29.739990 -23.433009
    Oben rechts KachelX + 1 38183 KachelY 37158 0.51915662 -0.40898316 29.745483 -23.433009
    Unten links KachelX 38182 KachelY + 1 37159 0.51906075 -0.40907113 29.739990 -23.438049
    Unten rechts KachelX + 1 38183 KachelY + 1 37159 0.51915662 -0.40907113 29.745483 -23.438049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40898316--0.40907113) × R
    8.79699999999928e-05 × 6371000     		dl = 560.456869999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40898316--0.40907113) × R
    8.79699999999928e-05 × 6371000     		dr = 560.456869999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51906075-0.51915662) × cos(-0.40898316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917525670521098 × 6371000     		do = 560.413458215324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51906075-0.51915662) × cos(-0.40907113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917490683364192 × 6371000     		du = 560.392088487779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40898316)-sin(-0.40907113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917525670521098-0.917490683364192)×R²
    abs(0.51915662-0.51906075)×3.49871569059745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49871569059745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49871569059745e-05×40589641000000     		ar = 314081.584494459m²