Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38182 / 36622
↖ ↑ ↗
← S 20.704739°
E 29.739990°		 ← 571.34 m → S 20.704739°
E 29.745483°		 →
↑
571.35 m
↓
↑
571.35 m
↓
S 20.709877°
E 29.739990°		 ← 571.32 m →
326 430 m²		 S 20.709877°
E 29.745483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582618713378906 y=0.558815002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582618713378906 × 216)
    floor (0.582618713378906 × 65536)
    floor (38182.5)     		tx = 38182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558815002441406 × 216)
    floor (0.558815002441406 × 65536)
    floor (36622.5)     		ty = 36622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38182 / 36622 ti = "16/38182/36622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38182/36622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38182 ÷ 216
    38182 ÷ 65536     		x = 0.582611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36622 ÷ 216
    36622 ÷ 65536     		y = 0.558807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582611083984375 × 2 - 1) × π
    0.16522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51906075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.11761474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.369497622271393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51906075} λ = 0.51906075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369497622271393))-π/2
    2×atan(0.691081427360983)-π/2
    2×0.604715232687325-π/2
    1.20943046537465-1.57079632675     		φ = -0.36136586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51906075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.739990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36136586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.704739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38182 KachelY 36622 0.51906075 -0.36136586 29.739990 -20.704739
    Oben rechts KachelX + 1 38183 KachelY 36622 0.51915662 -0.36136586 29.745483 -20.704739
    Unten links KachelX 38182 KachelY + 1 36623 0.51906075 -0.36145554 29.739990 -20.709877
    Unten rechts KachelX + 1 38183 KachelY + 1 36623 0.51915662 -0.36145554 29.745483 -20.709877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36136586--0.36145554) × R
    8.96800000000364e-05 × 6371000     		dl = 571.351280000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36136586--0.36145554) × R
    8.96800000000364e-05 × 6371000     		dr = 571.351280000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51906075-0.51915662) × cos(-0.36136586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93541479355124 × 6371000     		do = 571.33991577816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51906075-0.51915662) × cos(-0.36145554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935383083227703 × 6371000     		du = 571.320547500361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36136586)-sin(-0.36145554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93541479355124-0.935383083227703)×R²
    abs(0.51915662-0.51906075)×3.17103235372151e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17103235372151e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17103235372151e-05×40589641000000     		ar = 326430.259368562m²