Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38178 / 36626
↖ ↑ ↗
← S 20.725291°
E 29.718017°		 ← 571.32 m → S 20.725291°
E 29.723511°		 →
↑
571.29 m
↓
↑
571.29 m
↓
S 20.730428°
E 29.718017°		 ← 571.30 m →
326 384 m²		 S 20.730428°
E 29.723511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582557678222656 y=0.558876037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582557678222656 × 216)
    floor (0.582557678222656 × 65536)
    floor (38178.5)     		tx = 38178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558876037597656 × 216)
    floor (0.558876037597656 × 65536)
    floor (36626.5)     		ty = 36626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38178 / 36626 ti = "16/38178/36626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38178/36626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38178 ÷ 216
    38178 ÷ 65536     		x = 0.582550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36626 ÷ 216
    36626 ÷ 65536     		y = 0.558868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582550048828125 × 2 - 1) × π
    0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.11773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.369881117468353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51867725} λ = 0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369881117468353))-π/2
    2×atan(0.690816451764563)-π/2
    2×0.604535881310026-π/2
    1.20907176262005-1.57079632675     		φ = -0.36172456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36172456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.725291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38178 KachelY 36626 0.51867725 -0.36172456 29.718017 -20.725291
    Oben rechts KachelX + 1 38179 KachelY 36626 0.51877313 -0.36172456 29.723511 -20.725291
    Unten links KachelX 38178 KachelY + 1 36627 0.51867725 -0.36181423 29.718017 -20.730428
    Unten rechts KachelX + 1 38179 KachelY + 1 36627 0.51877313 -0.36181423 29.723511 -20.730428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36172456--0.36181423) × R
    8.96700000000417e-05 × 6371000     		dl = 571.287570000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36172456--0.36181423) × R
    8.96700000000417e-05 × 6371000     		dr = 571.287570000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51867725-0.51877313) × cos(-0.36172456) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.935287914198942 × 6371000     		do = 571.322006614824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51867725-0.51877313) × cos(-0.36181423) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.935256177327046 × 6371000     		du = 571.302620099656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36172456)-sin(-0.36181423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935287914198942-0.935256177327046)×R²
    abs(0.51877313-0.51867725)×3.17368718958377e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.17368718958377e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.17368718958377e-05×40589641000000     		ar = 326383.623427733m²