Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38176 / 36629
↖ ↑ ↗
← S 20.740703°
E 29.707031°		 ← 571.20 m → S 20.740703°
E 29.712524°		 →
↑
571.22 m
↓
↑
571.22 m
↓
S 20.745840°
E 29.707031°		 ← 571.18 m →
326 280 m²		 S 20.745840°
E 29.712524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582527160644531 y=0.558921813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582527160644531 × 216)
    floor (0.582527160644531 × 65536)
    floor (38176.5)     		tx = 38176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558921813964844 × 216)
    floor (0.558921813964844 × 65536)
    floor (36629.5)     		ty = 36629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38176 / 36629 ti = "16/38176/36629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38176/36629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38176 ÷ 216
    38176 ÷ 65536     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36629 ÷ 216
    36629 ÷ 65536     		y = 0.558914184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558914184570312 × 2 - 1) × π
    -0.117828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.370168738866074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370168738866074))-π/2
    2×atan(0.690617786742664)-π/2
    2×0.604401383748363-π/2
    1.20880276749673-1.57079632675     		φ = -0.36199356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36199356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.740703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38176 KachelY 36629 0.51848551 -0.36199356 29.707031 -20.740703
    Oben rechts KachelX + 1 38177 KachelY 36629 0.51858138 -0.36199356 29.712524 -20.740703
    Unten links KachelX 38176 KachelY + 1 36630 0.51848551 -0.36208322 29.707031 -20.745840
    Unten rechts KachelX + 1 38177 KachelY + 1 36630 0.51858138 -0.36208322 29.712524 -20.745840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36199356--0.36208322) × R
    8.96599999999914e-05 × 6371000     		dl = 571.223859999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36199356--0.36208322) × R
    8.96599999999914e-05 × 6371000     		dr = 571.223859999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.51858138) × cos(-0.36199356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935192684564535 × 6371000     		do = 571.204254325473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.51858138) × cos(-0.36208322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935160928676107 × 6371000     		du = 571.184858217196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36199356)-sin(-0.36208322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935192684564535-0.935160928676107)×R²
    abs(0.51858138-0.51848551)×3.17558884278535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17558884278535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17558884278535e-05×40589641000000     		ar = 326279.959462848m²