Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38175 / 36611
↖ ↑ ↗
← S 20.648206°
E 29.701538°		 ← 571.61 m → S 20.648206°
E 29.707031°		 →
↑
571.54 m
↓
↑
571.54 m
↓
S 20.653346°
E 29.701538°		 ← 571.59 m →
326 695 m²		 S 20.653346°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582511901855469 y=0.558647155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582511901855469 × 216)
    floor (0.582511901855469 × 65536)
    floor (38175.5)     		tx = 38175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558647155761719 × 216)
    floor (0.558647155761719 × 65536)
    floor (36611.5)     		ty = 36611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38175 / 36611 ti = "16/38175/36611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38175/36611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38175 ÷ 216
    38175 ÷ 65536     		x = 0.582504272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36611 ÷ 216
    36611 ÷ 65536     		y = 0.558639526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582504272460938 × 2 - 1) × π
    0.165008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51838963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558639526367188 × 2 - 1) × π
    -0.117279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.368443010479752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51838963} λ = 0.51838963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368443010479752))-π/2
    2×atan(0.691810634430864)-π/2
    2×0.605208574310756-π/2
    1.21041714862151-1.57079632675     		φ = -0.36037918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51838963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.701538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36037918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.648206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38175 KachelY 36611 0.51838963 -0.36037918 29.701538 -20.648206
    Oben rechts KachelX + 1 38176 KachelY 36611 0.51848551 -0.36037918 29.707031 -20.648206
    Unten links KachelX 38175 KachelY + 1 36612 0.51838963 -0.36046889 29.701538 -20.653346
    Unten rechts KachelX + 1 38176 KachelY + 1 36612 0.51848551 -0.36046889 29.707031 -20.653346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36037918--0.36046889) × R
    8.97099999999651e-05 × 6371000     		dl = 571.542409999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36037918--0.36046889) × R
    8.97099999999651e-05 × 6371000     		dr = 571.542409999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51838963-0.51848551) × cos(-0.36037918) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935763181056923 × 6371000     		do = 571.612324077755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51838963-0.51848551) × cos(-0.36046889) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935731542936626 × 6371000     		du = 571.592997885146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36037918)-sin(-0.36046889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935763181056923-0.935731542936626)×R²
    abs(0.51848551-0.51838963)×3.16381202977167e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.16381202977167e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.16381202977167e-05×40589641000000     		ar = 326695.162638714m²