Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38171 / 36640
↖ ↑ ↗
← S 20.797201°
E 29.679566°		 ← 570.99 m → S 20.797201°
E 29.685059°		 →
↑
571.03 m
↓
↑
571.03 m
↓
S 20.802337°
E 29.679566°		 ← 570.97 m →
326 049 m²		 S 20.802337°
E 29.685059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582450866699219 y=0.559089660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582450866699219 × 216)
    floor (0.582450866699219 × 65536)
    floor (38171.5)     		tx = 38171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559089660644531 × 216)
    floor (0.559089660644531 × 65536)
    floor (36640.5)     		ty = 36640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38171 / 36640 ti = "16/38171/36640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38171/36640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38171 ÷ 216
    38171 ÷ 65536     		x = 0.582443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36640 ÷ 216
    36640 ÷ 65536     		y = 0.55908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582443237304688 × 2 - 1) × π
    0.164886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51800614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.371223350657715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51800614} λ = 0.51800614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371223350657715))-π/2
    2×atan(0.689889837000908)-π/2
    2×0.603908343287836-π/2
    1.20781668657567-1.57079632675     		φ = -0.36297964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51800614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.679566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36297964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.797201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38171 KachelY 36640 0.51800614 -0.36297964 29.679566 -20.797201
    Oben rechts KachelX + 1 38172 KachelY 36640 0.51810201 -0.36297964 29.685059 -20.797201
    Unten links KachelX 38171 KachelY + 1 36641 0.51800614 -0.36306927 29.679566 -20.802337
    Unten rechts KachelX + 1 38172 KachelY + 1 36641 0.51810201 -0.36306927 29.685059 -20.802337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36297964--0.36306927) × R
    8.96300000000072e-05 × 6371000     		dl = 571.032730000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36297964--0.36306927) × R
    8.96300000000072e-05 × 6371000     		dr = 571.032730000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51800614-0.51810201) × cos(-0.36297964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934843020272642 × 6371000     		do = 570.99068365238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51800614-0.51810201) × cos(-0.36306927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934811192373231 × 6371000     		du = 570.971243560674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36297964)-sin(-0.36306927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934843020272642-0.934811192373231)×R²
    abs(0.51810201-0.51800614)×3.1827899411363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1827899411363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1827899411363e-05×40589641000000     		ar = 326048.818644725m²