Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38167 / 36610
↖ ↑ ↗
← S 20.643065°
E 29.657593°		 ← 571.63 m → S 20.643065°
E 29.663086°		 →
↑
571.61 m
↓
↑
571.61 m
↓
S 20.648206°
E 29.657593°		 ← 571.61 m →
326 743 m²		 S 20.648206°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582389831542969 y=0.558631896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582389831542969 × 216)
    floor (0.582389831542969 × 65536)
    floor (38167.5)     		tx = 38167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558631896972656 × 216)
    floor (0.558631896972656 × 65536)
    floor (36610.5)     		ty = 36610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38167 / 36610 ti = "16/38167/36610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38167/36610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38167 ÷ 216
    38167 ÷ 65536     		x = 0.582382202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36610 ÷ 216
    36610 ÷ 65536     		y = 0.558624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582382202148438 × 2 - 1) × π
    0.164764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51762264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.11724853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.368347136680511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51762264} λ = 0.51762264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368347136680511))-π/2
    2×atan(0.69187696412433)-π/2
    2×0.605253432654684-π/2
    1.21050686530937-1.57079632675     		φ = -0.36028946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51762264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.657593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36028946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.643065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38167 KachelY 36610 0.51762264 -0.36028946 29.657593 -20.643065
    Oben rechts KachelX + 1 38168 KachelY 36610 0.51771852 -0.36028946 29.663086 -20.643065
    Unten links KachelX 38167 KachelY + 1 36611 0.51762264 -0.36037918 29.657593 -20.648206
    Unten rechts KachelX + 1 38168 KachelY + 1 36611 0.51771852 -0.36037918 29.663086 -20.648206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36028946--0.36037918) × R
    8.97200000000153e-05 × 6371000     		dl = 571.606120000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36028946--0.36037918) × R
    8.97200000000153e-05 × 6371000     		dr = 571.606120000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51762264-0.51771852) × cos(-0.36028946) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935794815171759 × 6371000     		do = 571.63164782362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51762264-0.51771852) × cos(-0.36037918) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935763181056923 × 6371000     		du = 571.612324077755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36028946)-sin(-0.36037918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935794815171759-0.935763181056923)×R²
    abs(0.51771852-0.51762264)×3.16341148354216e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.16341148354216e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.16341148354216e-05×40589641000000     		ar = 326742.625715172m²