Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38164 / 36620
↖ ↑ ↗
← S 20.694461°
E 29.641113°		 ← 571.38 m → S 20.694461°
E 29.646606°		 →
↑
571.41 m
↓
↑
571.41 m
↓
S 20.699600°
E 29.641113°		 ← 571.36 m →
326 489 m²		 S 20.699600°
E 29.646606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582344055175781 y=0.558784484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582344055175781 × 216)
    floor (0.582344055175781 × 65536)
    floor (38164.5)     		tx = 38164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558784484863281 × 216)
    floor (0.558784484863281 × 65536)
    floor (36620.5)     		ty = 36620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38164 / 36620 ti = "16/38164/36620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38164/36620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38164 ÷ 216
    38164 ÷ 65536     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36620 ÷ 216
    36620 ÷ 65536     		y = 0.55877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.1175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.369305874672913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369305874672913))-π/2
    2×atan(0.69121395327039)-π/2
    2×0.604804917496877-π/2
    1.20960983499375-1.57079632675     		φ = -0.36118649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36118649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.694461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38164 KachelY 36620 0.51733502 -0.36118649 29.641113 -20.694461
    Oben rechts KachelX + 1 38165 KachelY 36620 0.51743089 -0.36118649 29.646606 -20.694461
    Unten links KachelX 38164 KachelY + 1 36621 0.51733502 -0.36127618 29.641113 -20.699600
    Unten rechts KachelX + 1 38165 KachelY + 1 36621 0.51743089 -0.36127618 29.646606 -20.699600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36118649--0.36127618) × R
    8.96899999999756e-05 × 6371000     		dl = 571.414989999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36118649--0.36127618) × R
    8.96899999999756e-05 × 6371000     		dr = 571.414989999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(-0.36118649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935478195162677 × 6371000     		do = 571.378640707023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(-0.36127618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935446496351702 × 6371000     		du = 571.359279460956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36118649)-sin(-0.36127618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935478195162677-0.935446496351702)×R²
    abs(0.51743089-0.51733502)×3.16988109749783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16988109749783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16988109749783e-05×40589641000000     		ar = 326488.788831386m²