Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38164 / 36603
↖ ↑ ↗
← S 20.607078°
E 29.641113°		 ← 571.71 m → S 20.607078°
E 29.646606°		 →
↑
571.73 m
↓
↑
571.73 m
↓
S 20.612220°
E 29.641113°		 ← 571.69 m →
326 859 m²		 S 20.612220°
E 29.646606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582344055175781 y=0.558525085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582344055175781 × 216)
    floor (0.582344055175781 × 65536)
    floor (38164.5)     		tx = 38164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558525085449219 × 216)
    floor (0.558525085449219 × 65536)
    floor (36603.5)     		ty = 36603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38164 / 36603 ti = "16/38164/36603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38164/36603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38164 ÷ 216
    38164 ÷ 65536     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36603 ÷ 216
    36603 ÷ 65536     		y = 0.558517456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558517456054688 × 2 - 1) × π
    -0.117034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.367676020085831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.367676020085831))-π/2
    2×atan(0.692341450081115)-π/2
    2×0.605567483499276-π/2
    1.21113496699855-1.57079632675     		φ = -0.35966136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35966136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.607078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38164 KachelY 36603 0.51733502 -0.35966136 29.641113 -20.607078
    Oben rechts KachelX + 1 38165 KachelY 36603 0.51743089 -0.35966136 29.646606 -20.607078
    Unten links KachelX 38164 KachelY + 1 36604 0.51733502 -0.35975110 29.641113 -20.612220
    Unten rechts KachelX + 1 38165 KachelY + 1 36604 0.51743089 -0.35975110 29.646606 -20.612220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35966136--0.35975110) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dl = 571.733540000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35966136--0.35975110) × R
    8.97400000000048e-05 × 6371000     		dr = 571.733540000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(-0.35966136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936016064159068 × 6371000     		do = 571.707164511882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(-0.35975110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935984475743722 × 6371000     		du = 571.687870694114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35966136)-sin(-0.35975110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936016064159068-0.935984475743722)×R²
    abs(0.51743089-0.51733502)×3.15884153467838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15884153467838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15884153467838e-05×40589641000000     		ar = 326858.645767585m²