Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3816 / 3353
↖ ↑ ↗
← N 31.015279°
W 12.304687°		 ← 4 187.87 m → N 31.015279°
W 12.260742°		 →
↑
4 188.74 m
↓
↑
4 188.74 m
↓
N 30.977609°
W 12.304687°		 ← 4 189.53 m →
17 545 374 m²		 N 30.977609°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46588134765625 y=0.40936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46588134765625 × 213)
    floor (0.46588134765625 × 8192)
    floor (3816.5)     		tx = 3816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40936279296875 × 213)
    floor (0.40936279296875 × 8192)
    floor (3353.5)     		ty = 3353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3816 / 3353 ti = "13/3816/3353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3816/3353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3816 ÷ 213
    3816 ÷ 8192     		x = 0.4658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3353 ÷ 213
    3353 ÷ 8192     		y = 0.4093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4093017578125 × 2 - 1) × π
    0.181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.569873862683228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21475731} λ = -0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569873862683228))-π/2
    2×atan(1.76804402103905)-π/2
    2×1.0560575317182-π/2
    2.11211506343639-1.57079632675     		φ = 0.54131874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54131874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.015279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3816 KachelY 3353 -0.21475731 0.54131874 -12.304687 31.015279
    Oben rechts KachelX + 1 3817 KachelY 3353 -0.21399032 0.54131874 -12.260742 31.015279
    Unten links KachelX 3816 KachelY + 1 3354 -0.21475731 0.54066127 -12.304687 30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 3817 KachelY + 1 3354 -0.21399032 0.54066127 -12.260742 30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54131874-0.54066127) × R
    0.000657470000000049 × 6371000     		dl = 4188.74137000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54131874-0.54066127) × R
    0.000657470000000049 × 6371000     		dr = 4188.74137000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21475731--0.21399032) × cos(0.54131874) × R
    0.000766989999999995 × 0.857029924052875 × 6371000     		do = 4187.87097321356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21475731--0.21399032) × cos(0.54066127) × R
    0.000766989999999995 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 4189.52547680559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54131874)-sin(0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857029924052875-0.857368511152834)×R²
    abs(-0.21399032--0.21475731)×0.000338587099958931×R²
    0.000766989999999995×0.000338587099958931×6371000²
    0.000766989999999995×0.000338587099958931×40589641000000     		ar = 17545374.1735672m²