Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3816 / 3351
↖ ↑ ↗
← N 31.090574°
W 12.304687°		 ← 4 184.56 m → N 31.090574°
W 12.260742°		 →
↑
4 185.36 m
↓
↑
4 185.36 m
↓
N 31.052934°
W 12.304687°		 ← 4 186.22 m →
17 517 372 m²		 N 31.052934°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46588134765625 y=0.40911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46588134765625 × 213)
    floor (0.46588134765625 × 8192)
    floor (3816.5)     		tx = 3816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40911865234375 × 213)
    floor (0.40911865234375 × 8192)
    floor (3351.5)     		ty = 3351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3816 / 3351 ti = "13/3816/3351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3816/3351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3816 ÷ 213
    3816 ÷ 8192     		x = 0.4658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3351 ÷ 213
    3351 ÷ 8192     		y = 0.4090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4090576171875 × 2 - 1) × π
    0.181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.571407843471069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21475731} λ = -0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571407843471069))-π/2
    2×atan(1.77075824785304)-π/2
    2×1.05671460553656-π/2
    2.11342921107312-1.57079632675     		φ = 0.54263288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54263288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.090574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3816 KachelY 3351 -0.21475731 0.54263288 -12.304687 31.090574
    Oben rechts KachelX + 1 3817 KachelY 3351 -0.21399032 0.54263288 -12.260742 31.090574
    Unten links KachelX 3816 KachelY + 1 3352 -0.21475731 0.54197594 -12.304687 31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 3817 KachelY + 1 3352 -0.21399032 0.54197594 -12.260742 31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54263288-0.54197594) × R
    0.000656939999999939 × 6371000     		dl = 4185.36473999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54263288-0.54197594) × R
    0.000656939999999939 × 6371000     		dr = 4185.36473999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21475731--0.21399032) × cos(0.54263288) × R
    0.000766989999999995 × 0.856352051717002 × 6371000     		do = 4184.55855459284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21475731--0.21399032) × cos(0.54197594) × R
    0.000766989999999995 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 4186.21533990581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54263288)-sin(0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856352051717002-0.856691105761415)×R²
    abs(-0.21399032--0.21475731)×0.000339054044412812×R²
    0.000766989999999995×0.000339054044412812×6371000²
    0.000766989999999995×0.000339054044412812×40589641000000     		ar = 17517371.5822713m²