Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38157 / 36613
↖ ↑ ↗
← S 20.658486°
E 29.602661°		 ← 571.57 m → S 20.658486°
E 29.608154°		 →
↑
571.54 m
↓
↑
571.54 m
↓
S 20.663626°
E 29.602661°		 ← 571.55 m →
326 673 m²		 S 20.663626°
E 29.608154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582237243652344 y=0.558677673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582237243652344 × 216)
    floor (0.582237243652344 × 65536)
    floor (38157.5)     		tx = 38157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558677673339844 × 216)
    floor (0.558677673339844 × 65536)
    floor (36613.5)     		ty = 36613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38157 / 36613 ti = "16/38157/36613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38157/36613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38157 ÷ 216
    38157 ÷ 65536     		x = 0.582229614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36613 ÷ 216
    36613 ÷ 65536     		y = 0.558670043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582229614257812 × 2 - 1) × π
    0.164459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51666390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558670043945312 × 2 - 1) × π
    -0.117340087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.368634758078232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51666390} λ = 0.51666390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368634758078232))-π/2
    2×atan(0.691677994120245)-π/2
    2×0.605118862172831-π/2
    1.21023772434566-1.57079632675     		φ = -0.36055860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51666390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.602661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36055860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.658486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38157 KachelY 36613 0.51666390 -0.36055860 29.602661 -20.658486
    Oben rechts KachelX + 1 38158 KachelY 36613 0.51675978 -0.36055860 29.608154 -20.658486
    Unten links KachelX 38157 KachelY + 1 36614 0.51666390 -0.36064831 29.602661 -20.663626
    Unten rechts KachelX + 1 38158 KachelY + 1 36614 0.51675978 -0.36064831 29.608154 -20.663626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36055860--0.36064831) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dl = 571.542410000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36055860--0.36064831) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dr = 571.542410000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51666390-0.51675978) × cos(-0.36055860) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.935699897285669 × 6371000     		do = 571.573667093086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51666390-0.51675978) × cos(-0.36064831) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.935668244104308 × 6371000     		du = 571.554331700405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36055860)-sin(-0.36064831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935699897285669-0.935668244104308)×R²
    abs(0.51675978-0.51666390)×3.16531813611132e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.16531813611132e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.16531813611132e-05×40589641000000     		ar = 326673.06590343m²