Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38153 / 36617
↖ ↑ ↗
← S 20.679044°
E 29.580689°		 ← 571.44 m → S 20.679044°
E 29.586181°		 →
↑
571.48 m
↓
↑
571.48 m
↓
S 20.684184°
E 29.580689°		 ← 571.42 m →
326 558 m²		 S 20.684184°
E 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582176208496094 y=0.558738708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582176208496094 × 216)
    floor (0.582176208496094 × 65536)
    floor (38153.5)     		tx = 38153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558738708496094 × 216)
    floor (0.558738708496094 × 65536)
    floor (36617.5)     		ty = 36617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38153 / 36617 ti = "16/38153/36617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38153/36617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38153 ÷ 216
    38153 ÷ 65536     		x = 0.582168579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36617 ÷ 216
    36617 ÷ 65536     		y = 0.558731079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582168579101562 × 2 - 1) × π
    0.164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51628041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558731079101562 × 2 - 1) × π
    -0.117462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.369018253275192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51628041} λ = 0.51628041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369018253275192))-π/2
    2×atan(0.691412789787201)-π/2
    2×0.604939456105375-π/2
    1.20987891221075-1.57079632675     		φ = -0.36091741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51628041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.580689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36091741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.679044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38153 KachelY 36617 0.51628041 -0.36091741 29.580689 -20.679044
    Oben rechts KachelX + 1 38154 KachelY 36617 0.51637628 -0.36091741 29.586181 -20.679044
    Unten links KachelX 38153 KachelY + 1 36618 0.51628041 -0.36100711 29.580689 -20.684184
    Unten rechts KachelX + 1 38154 KachelY + 1 36618 0.51637628 -0.36100711 29.586181 -20.684184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36091741--0.36100711) × R
    8.97000000000259e-05 × 6371000     		dl = 571.478700000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36091741--0.36100711) × R
    8.97000000000259e-05 × 6371000     		dr = 571.478700000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51628041-0.51637628) × cos(-0.36091741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935573249974327 × 6371000     		do = 571.436699023459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51628041-0.51637628) × cos(-0.36100711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935541570208581 × 6371000     		du = 571.417349409985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36091741)-sin(-0.36100711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935573249974327-0.935541570208581)×R²
    abs(0.51637628-0.51628041)×3.16797657464729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16797657464729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16797657464729e-05×40589641000000     		ar = 326558.373163147m²