Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38153 / 36615
↖ ↑ ↗
← S 20.668765°
E 29.580689°		 ← 571.48 m → S 20.668765°
E 29.586181°		 →
↑
571.54 m
↓
↑
571.54 m
↓
S 20.673905°
E 29.580689°		 ← 571.46 m →
326 617 m²		 S 20.673905°
E 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582176208496094 y=0.558708190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582176208496094 × 216)
    floor (0.582176208496094 × 65536)
    floor (38153.5)     		tx = 38153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558708190917969 × 216)
    floor (0.558708190917969 × 65536)
    floor (36615.5)     		ty = 36615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38153 / 36615 ti = "16/38153/36615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38153/36615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38153 ÷ 216
    38153 ÷ 65536     		x = 0.582168579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36615 ÷ 216
    36615 ÷ 65536     		y = 0.558700561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582168579101562 × 2 - 1) × π
    0.164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51628041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558700561523438 × 2 - 1) × π
    -0.117401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368826505676712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51628041} λ = 0.51628041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368826505676712))-π/2
    2×atan(0.69154537924065)-π/2
    2×0.605029156103545-π/2
    1.21005831220709-1.57079632675     		φ = -0.36073801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51628041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.580689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36073801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.668765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38153 KachelY 36615 0.51628041 -0.36073801 29.580689 -20.668765
    Oben rechts KachelX + 1 38154 KachelY 36615 0.51637628 -0.36073801 29.586181 -20.668765
    Unten links KachelX 38153 KachelY + 1 36616 0.51628041 -0.36082772 29.580689 -20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 38154 KachelY + 1 36616 0.51637628 -0.36082772 29.586181 -20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36073801--0.36082772) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dl = 571.542410000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36073801--0.36082772) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dr = 571.542410000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51628041-0.51637628) × cos(-0.36073801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935636586922446 × 6371000     		do = 571.475384456759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51628041-0.51637628) × cos(-0.36082772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 571.456041882724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36073801)-sin(-0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935636586922446-0.935604918681879)×R²
    abs(0.51637628-0.51628041)×3.16682405661073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16682405661073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16682405661073e-05×40589641000000     		ar = 326616.89115659m²