Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38152 / 36616
↖ ↑ ↗
← S 20.673905°
E 29.575196°		 ← 571.46 m → S 20.673905°
E 29.580689°		 →
↑
571.41 m
↓
↑
571.41 m
↓
S 20.679044°
E 29.575196°		 ← 571.44 m →
326 533 m²		 S 20.679044°
E 29.580689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582160949707031 y=0.558723449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582160949707031 × 216)
    floor (0.582160949707031 × 65536)
    floor (38152.5)     		tx = 38152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558723449707031 × 216)
    floor (0.558723449707031 × 65536)
    floor (36616.5)     		ty = 36616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38152 / 36616 ti = "16/38152/36616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38152/36616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38152 ÷ 216
    38152 ÷ 65536     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36616 ÷ 216
    36616 ÷ 65536     		y = 0.5587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.117431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.368922379475952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368922379475952))-π/2
    2×atan(0.691479081335962)-π/2
    2×0.604984305345416-π/2
    1.20996861069083-1.57079632675     		φ = -0.36082772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36082772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.673905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38152 KachelY 36616 0.51618454 -0.36082772 29.575196 -20.673905
    Oben rechts KachelX + 1 38153 KachelY 36616 0.51628041 -0.36082772 29.580689 -20.673905
    Unten links KachelX 38152 KachelY + 1 36617 0.51618454 -0.36091741 29.575196 -20.679044
    Unten rechts KachelX + 1 38153 KachelY + 1 36617 0.51628041 -0.36091741 29.580689 -20.679044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36082772--0.36091741) × R
    8.96899999999756e-05 × 6371000     		dl = 571.414989999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36082772--0.36091741) × R
    8.96899999999756e-05 × 6371000     		dr = 571.414989999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51628041) × cos(-0.36082772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935604918681879 × 6371000     		do = 571.456041882724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51628041) × cos(-0.36091741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935573249974327 × 6371000     		du = 571.436699023459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36082772)-sin(-0.36091741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935604918681879-0.935573249974327)×R²
    abs(0.51628041-0.51618454)×3.16687075521127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16687075521127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16687075521127e-05×40589641000000     		ar = 326533.022276858m²