Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38143 / 36643
↖ ↑ ↗
← S 20.812607°
E 29.525757°		 ← 570.93 m → S 20.812607°
E 29.531250°		 →
↑
570.91 m
↓
↑
570.91 m
↓
S 20.817741°
E 29.525757°		 ← 570.91 m →
325 943 m²		 S 20.817741°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582023620605469 y=0.559135437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582023620605469 × 216)
    floor (0.582023620605469 × 65536)
    floor (38143.5)     		tx = 38143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559135437011719 × 216)
    floor (0.559135437011719 × 65536)
    floor (36643.5)     		ty = 36643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38143 / 36643 ti = "16/38143/36643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38143/36643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38143 ÷ 216
    38143 ÷ 65536     		x = 0.582015991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36643 ÷ 216
    36643 ÷ 65536     		y = 0.559127807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582015991210938 × 2 - 1) × π
    0.164031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51532167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559127807617188 × 2 - 1) × π
    -0.118255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.371510972055435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51532167} λ = 0.51532167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371510972055435))-π/2
    2×atan(0.689691438454918)-π/2
    2×0.603773909725908-π/2
    1.20754781945182-1.57079632675     		φ = -0.36324851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51532167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.525757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36324851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.812607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38143 KachelY 36643 0.51532167 -0.36324851 29.525757 -20.812607
    Oben rechts KachelX + 1 38144 KachelY 36643 0.51541754 -0.36324851 29.531250 -20.812607
    Unten links KachelX 38143 KachelY + 1 36644 0.51532167 -0.36333812 29.525757 -20.817741
    Unten rechts KachelX + 1 38144 KachelY + 1 36644 0.51541754 -0.36333812 29.531250 -20.817741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36324851--0.36333812) × R
    8.96099999999622e-05 × 6371000     		dl = 570.905309999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36324851--0.36333812) × R
    8.96099999999622e-05 × 6371000     		dr = 570.905309999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51532167-0.51541754) × cos(-0.36324851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934747521151396 × 6371000     		do = 570.932353957077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51532167-0.51541754) × cos(-0.36333812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934715677832835 × 6371000     		du = 570.912904447543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36324851)-sin(-0.36333812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934747521151396-0.934715677832835)×R²
    abs(0.51541754-0.51532167)×3.18433185608757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18433185608757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18433185608757e-05×40589641000000     		ar = 325942.760828641m²