Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38139 / 36651
↖ ↑ ↗
← S 20.853678°
E 29.503784°		 ← 570.78 m → S 20.853678°
E 29.509277°		 →
↑
570.78 m
↓
↑
570.78 m
↓
S 20.858812°
E 29.503784°		 ← 570.76 m →
325 781 m²		 S 20.858812°
E 29.509277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581962585449219 y=0.559257507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581962585449219 × 216)
    floor (0.581962585449219 × 65536)
    floor (38139.5)     		tx = 38139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559257507324219 × 216)
    floor (0.559257507324219 × 65536)
    floor (36651.5)     		ty = 36651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38139 / 36651 ti = "16/38139/36651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38139/36651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38139 ÷ 216
    38139 ÷ 65536     		x = 0.581954956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36651 ÷ 216
    36651 ÷ 65536     		y = 0.559249877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581954956054688 × 2 - 1) × π
    0.163909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51493818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559249877929688 × 2 - 1) × π
    -0.118499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.372277962449356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51493818} λ = 0.51493818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372277962449356))-π/2
    2×atan(0.68916265455886)-π/2
    2×0.603415487412607-π/2
    1.20683097482521-1.57079632675     		φ = -0.36396535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51493818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.503784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36396535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.853678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38139 KachelY 36651 0.51493818 -0.36396535 29.503784 -20.853678
    Oben rechts KachelX + 1 38140 KachelY 36651 0.51503405 -0.36396535 29.509277 -20.853678
    Unten links KachelX 38139 KachelY + 1 36652 0.51493818 -0.36405494 29.503784 -20.858812
    Unten rechts KachelX + 1 38140 KachelY + 1 36652 0.51503405 -0.36405494 29.509277 -20.858812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36396535--0.36405494) × R
    8.95899999999727e-05 × 6371000     		dl = 570.777889999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36396535--0.36405494) × R
    8.95899999999727e-05 × 6371000     		dr = 570.777889999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51493818-0.51503405) × cos(-0.36396535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934492578696322 × 6371000     		do = 570.776638223463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51493818-0.51503405) × cos(-0.36405494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934460682463825 × 6371000     		du = 570.757156394745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36396535)-sin(-0.36405494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934492578696322-0.934460682463825)×R²
    abs(0.51503405-0.51493818)×3.18962324967753e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18962324967753e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18962324967753e-05×40589641000000     		ar = 325781.125545801m²