Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38133 / 36656
↖ ↑ ↗
← S 20.879343°
E 29.470825°		 ← 570.74 m → S 20.879343°
E 29.476319°		 →
↑
570.71 m
↓
↑
570.71 m
↓
S 20.884475°
E 29.470825°		 ← 570.72 m →
325 723 m²		 S 20.884475°
E 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581871032714844 y=0.559333801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581871032714844 × 216)
    floor (0.581871032714844 × 65536)
    floor (38133.5)     		tx = 38133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559333801269531 × 216)
    floor (0.559333801269531 × 65536)
    floor (36656.5)     		ty = 36656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38133 / 36656 ti = "16/38133/36656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38133/36656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38133 ÷ 216
    38133 ÷ 65536     		x = 0.581863403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36656 ÷ 216
    36656 ÷ 65536     		y = 0.559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581863403320312 × 2 - 1) × π
    0.163726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51436293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.11865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.372757331445557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51436293} λ = 0.51436293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372757331445557))-π/2
    2×atan(0.688832370519214)-π/2
    2×0.603191523145524-π/2
    1.20638304629105-1.57079632675     		φ = -0.36441328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51436293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.470825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36441328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.879343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38133 KachelY 36656 0.51436293 -0.36441328 29.470825 -20.879343
    Oben rechts KachelX + 1 38134 KachelY 36656 0.51445881 -0.36441328 29.476319 -20.879343
    Unten links KachelX 38133 KachelY + 1 36657 0.51436293 -0.36450286 29.470825 -20.884475
    Unten rechts KachelX + 1 38134 KachelY + 1 36657 0.51445881 -0.36450286 29.476319 -20.884475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36441328--0.36450286) × R
    8.9579999999978e-05 × 6371000     		dl = 570.71417999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36441328--0.36450286) × R
    8.9579999999978e-05 × 6371000     		dr = 570.71417999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51436293-0.51445881) × cos(-0.36441328) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.934333029661168 × 6371000     		do = 570.738713981695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51436293-0.51445881) × cos(-0.36450286) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.934301099496129 × 6371000     		du = 570.719209393124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36441328)-sin(-0.36450286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934333029661168-0.934301099496129)×R²
    abs(0.51445881-0.51436293)×3.1930165039773e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.1930165039773e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.1930165039773e-05×40589641000000     		ar = 325723.111589292m²