Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38131 / 36659
↖ ↑ ↗
← S 20.894739°
E 29.459839°		 ← 570.62 m → S 20.894739°
E 29.465332°		 →
↑
570.65 m
↓
↑
570.65 m
↓
S 20.899871°
E 29.459839°		 ← 570.60 m →
325 619 m²		 S 20.899871°
E 29.465332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581840515136719 y=0.559379577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581840515136719 × 216)
    floor (0.581840515136719 × 65536)
    floor (38131.5)     		tx = 38131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559379577636719 × 216)
    floor (0.559379577636719 × 65536)
    floor (36659.5)     		ty = 36659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38131 / 36659 ti = "16/38131/36659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38131/36659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38131 ÷ 216
    38131 ÷ 65536     		x = 0.581832885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36659 ÷ 216
    36659 ÷ 65536     		y = 0.559371948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581832885742188 × 2 - 1) × π
    0.163665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51417119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559371948242188 × 2 - 1) × π
    -0.118743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.373044952843277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51417119} λ = 0.51417119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373044952843277))-π/2
    2×atan(0.688634276079476)-π/2
    2×0.603057162947859-π/2
    1.20611432589572-1.57079632675     		φ = -0.36468200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51417119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.459839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36468200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.894739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38131 KachelY 36659 0.51417119 -0.36468200 29.459839 -20.894739
    Oben rechts KachelX + 1 38132 KachelY 36659 0.51426706 -0.36468200 29.465332 -20.894739
    Unten links KachelX 38131 KachelY + 1 36660 0.51417119 -0.36477157 29.459839 -20.899871
    Unten rechts KachelX + 1 38132 KachelY + 1 36660 0.51426706 -0.36477157 29.465332 -20.899871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36468200--0.36477157) × R
    8.95699999999833e-05 × 6371000     		dl = 570.650469999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36468200--0.36477157) × R
    8.95699999999833e-05 × 6371000     		dr = 570.650469999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51417119-0.51426706) × cos(-0.36468200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934237223807238 × 6371000     		do = 570.620670580202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51417119-0.51426706) × cos(-0.36477157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934205274719889 × 6371000     		du = 570.601156468386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36468200)-sin(-0.36477157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934237223807238-0.934205274719889)×R²
    abs(0.51426706-0.51417119)×3.19490873496031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19490873496031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19490873496031e-05×40589641000000     		ar = 325619.386207317m²