Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38129 / 37105
↖ ↑ ↗
← S 23.165614°
E 29.448853°		 ← 561.54 m → S 23.165614°
E 29.454346°		 →
↑
561.54 m
↓
↑
561.54 m
↓
S 23.170664°
E 29.448853°		 ← 561.52 m →
315 322 m²		 S 23.170664°
E 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581809997558594 y=0.566184997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581809997558594 × 216)
    floor (0.581809997558594 × 65536)
    floor (38129.5)     		tx = 38129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566184997558594 × 216)
    floor (0.566184997558594 × 65536)
    floor (37105.5)     		ty = 37105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38129 / 37105 ti = "16/38129/37105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38129/37105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38129 ÷ 216
    38129 ÷ 65536     		x = 0.581802368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37105 ÷ 216
    37105 ÷ 65536     		y = 0.566177368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581802368164062 × 2 - 1) × π
    0.163604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51397944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566177368164062 × 2 - 1) × π
    -0.132354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.415804667304367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51397944} λ = 0.51397944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415804667304367))-π/2
    2×atan(0.659809140195703)-π/2
    2×0.583240047568017-π/2
    1.16648009513603-1.57079632675     		φ = -0.40431623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51397944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.448853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40431623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.165614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38129 KachelY 37105 0.51397944 -0.40431623 29.448853 -23.165614
    Oben rechts KachelX + 1 38130 KachelY 37105 0.51407531 -0.40431623 29.454346 -23.165614
    Unten links KachelX 38129 KachelY + 1 37106 0.51397944 -0.40440437 29.448853 -23.170664
    Unten rechts KachelX + 1 38130 KachelY + 1 37106 0.51407531 -0.40440437 29.454346 -23.170664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40431623--0.40440437) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dl = 561.539940000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40431623--0.40440437) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dr = 561.539940000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51397944-0.51407531) × cos(-0.40431623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919371600493351 × 6371000     		do = 561.540929666653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51397944-0.51407531) × cos(-0.40440437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919336923508821 × 6371000     		du = 561.519749388601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40431623)-sin(-0.40440437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919371600493351-0.919336923508821)×R²
    abs(0.51407531-0.51397944)×3.46769845298578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46769845298578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46769845298578e-05×40589641000000     		ar = 315321.713370767m²