Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38128 / 37104
↖ ↑ ↗
← S 23.160564°
E 29.443359°		 ← 561.62 m → S 23.160564°
E 29.448853°		 →
↑
561.54 m
↓
↑
561.54 m
↓
S 23.165614°
E 29.443359°		 ← 561.60 m →
315 366 m²		 S 23.165614°
E 29.448853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581794738769531 y=0.566169738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581794738769531 × 216)
    floor (0.581794738769531 × 65536)
    floor (38128.5)     		tx = 38128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566169738769531 × 216)
    floor (0.566169738769531 × 65536)
    floor (37104.5)     		ty = 37104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38128 / 37104 ti = "16/38128/37104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38128/37104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38128 ÷ 216
    38128 ÷ 65536     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37104 ÷ 216
    37104 ÷ 65536     		y = 0.566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.13232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.415708793505127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415708793505127))-π/2
    2×atan(0.659872401637256)-π/2
    2×0.583284120223167-π/2
    1.16656824044633-1.57079632675     		φ = -0.40422809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40422809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.160564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38128 KachelY 37104 0.51388356 -0.40422809 29.443359 -23.160564
    Oben rechts KachelX + 1 38129 KachelY 37104 0.51397944 -0.40422809 29.448853 -23.160564
    Unten links KachelX 38128 KachelY + 1 37105 0.51388356 -0.40431623 29.443359 -23.165614
    Unten rechts KachelX + 1 38129 KachelY + 1 37105 0.51397944 -0.40431623 29.448853 -23.165614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40422809--0.40431623) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dl = 561.539940000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40422809--0.40431623) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dr = 561.539940000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51397944) × cos(-0.40422809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.919406270335596 × 6371000     		do = 561.620680955411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51397944) × cos(-0.40431623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.919371600493351 × 6371000     		du = 561.599502830964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40422809)-sin(-0.40431623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919406270335596-0.919371600493351)×R²
    abs(0.51397944-0.51388356)×3.46698422449832e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46698422449832e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46698422449832e-05×40589641000000     		ar = 315366.497509295m²