Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38127 / 37102
↖ ↑ ↗
← S 23.150462°
E 29.437866°		 ← 561.60 m → S 23.150462°
E 29.443359°		 →
↑
561.60 m
↓
↑
561.60 m
↓
S 23.155513°
E 29.437866°		 ← 561.58 m →
315 393 m²		 S 23.155513°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581779479980469 y=0.566139221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581779479980469 × 216)
    floor (0.581779479980469 × 65536)
    floor (38127.5)     		tx = 38127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566139221191406 × 216)
    floor (0.566139221191406 × 65536)
    floor (37102.5)     		ty = 37102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38127 / 37102 ti = "16/38127/37102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38127/37102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38127 ÷ 216
    38127 ÷ 65536     		x = 0.581771850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37102 ÷ 216
    37102 ÷ 65536     		y = 0.566131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581771850585938 × 2 - 1) × π
    0.163543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51378769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.13226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.415517045906647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51378769} λ = 0.51378769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415517045906647))-π/2
    2×atan(0.659998942717159)-π/2
    2×0.583372270518964-π/2
    1.16674454103793-1.57079632675     		φ = -0.40405179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51378769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.437866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40405179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.150462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38127 KachelY 37102 0.51378769 -0.40405179 29.437866 -23.150462
    Oben rechts KachelX + 1 38128 KachelY 37102 0.51388356 -0.40405179 29.443359 -23.150462
    Unten links KachelX 38127 KachelY + 1 37103 0.51378769 -0.40413994 29.437866 -23.155513
    Unten rechts KachelX + 1 38128 KachelY + 1 37103 0.51388356 -0.40413994 29.443359 -23.155513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40405179--0.40413994) × R
    8.81499999999535e-05 × 6371000     		dl = 561.603649999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40405179--0.40413994) × R
    8.81499999999535e-05 × 6371000     		dr = 561.603649999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51378769-0.51388356) × cos(-0.40405179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919475596455095 × 6371000     		do = 561.604449128215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51378769-0.51388356) × cos(-0.40413994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919440936967568 × 6371000     		du = 561.583279537119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40405179)-sin(-0.40413994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919475596455095-0.919440936967568)×R²
    abs(0.51388356-0.51378769)×3.46594875273443e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46594875273443e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46594875273443e-05×40589641000000     		ar = 315393.164230865m²