Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38127 / 36591
↖ ↑ ↗
← S 20.545365°
E 29.437866°		 ← 571.94 m → S 20.545365°
E 29.443359°		 →
↑
571.92 m
↓
↑
571.92 m
↓
S 20.550509°
E 29.437866°		 ← 571.92 m →
327 100 m²		 S 20.550509°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581779479980469 y=0.558341979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581779479980469 × 216)
    floor (0.581779479980469 × 65536)
    floor (38127.5)     		tx = 38127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558341979980469 × 216)
    floor (0.558341979980469 × 65536)
    floor (36591.5)     		ty = 36591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38127 / 36591 ti = "16/38127/36591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38127/36591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38127 ÷ 216
    38127 ÷ 65536     		x = 0.581771850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36591 ÷ 216
    36591 ÷ 65536     		y = 0.558334350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581771850585938 × 2 - 1) × π
    0.163543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51378769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558334350585938 × 2 - 1) × π
    -0.116668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.366525534494949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51378769} λ = 0.51378769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366525534494949))-π/2
    2×atan(0.693138437316659)-π/2
    2×0.60610602891957-π/2
    1.21221205783914-1.57079632675     		φ = -0.35858427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51378769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.437866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35858427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.545365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38127 KachelY 36591 0.51378769 -0.35858427 29.437866 -20.545365
    Oben rechts KachelX + 1 38128 KachelY 36591 0.51388356 -0.35858427 29.443359 -20.545365
    Unten links KachelX 38127 KachelY + 1 36592 0.51378769 -0.35867404 29.437866 -20.550509
    Unten rechts KachelX + 1 38128 KachelY + 1 36592 0.51388356 -0.35867404 29.443359 -20.550509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35858427--0.35867404) × R
    8.97700000000445e-05 × 6371000     		dl = 571.924670000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35858427--0.35867404) × R
    8.97700000000445e-05 × 6371000     		dr = 571.924670000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51378769-0.51388356) × cos(-0.35858427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936394610806775 × 6371000     		do = 571.938376174675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51378769-0.51388356) × cos(-0.35867404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936363102350712 × 6371000     		du = 571.919131195061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35858427)-sin(-0.35867404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936394610806775-0.936363102350712)×R²
    abs(0.51388356-0.51378769)×3.1508456062479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1508456062479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1508456062479e-05×40589641000000     		ar = 327100.163934494m²