Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38122 / 36572
↖ ↑ ↗
← S 20.447603°
E 29.410400°		 ← 572.30 m → S 20.447603°
E 29.415893°		 →
↑
572.31 m
↓
↑
572.31 m
↓
S 20.452750°
E 29.410400°		 ← 572.28 m →
327 528 m²		 S 20.452750°
E 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581703186035156 y=0.558052062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581703186035156 × 216)
    floor (0.581703186035156 × 65536)
    floor (38122.5)     		tx = 38122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558052062988281 × 216)
    floor (0.558052062988281 × 65536)
    floor (36572.5)     		ty = 36572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38122 / 36572 ti = "16/38122/36572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38122/36572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38122 ÷ 216
    38122 ÷ 65536     		x = 0.581695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36572 ÷ 216
    36572 ÷ 65536     		y = 0.55804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581695556640625 × 2 - 1) × π
    0.16339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51330832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.364703932309387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51330832} λ = 0.51330832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364703932309387))-π/2
    2×atan(0.694402210505516)-π/2
    2×0.60695917041398-π/2
    1.21391834082796-1.57079632675     		φ = -0.35687799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51330832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.410400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35687799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.447603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38122 KachelY 36572 0.51330832 -0.35687799 29.410400 -20.447603
    Oben rechts KachelX + 1 38123 KachelY 36572 0.51340419 -0.35687799 29.415893 -20.447603
    Unten links KachelX 38122 KachelY + 1 36573 0.51330832 -0.35696782 29.410400 -20.452750
    Unten rechts KachelX + 1 38123 KachelY + 1 36573 0.51340419 -0.35696782 29.415893 -20.452750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35687799--0.35696782) × R
    8.9830000000013e-05 × 6371000     		dl = 572.306930000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35687799--0.35696782) × R
    8.9830000000013e-05 × 6371000     		dr = 572.306930000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51330832-0.51340419) × cos(-0.35687799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936992064505939 × 6371000     		do = 572.303293587266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51330832-0.51340419) × cos(-0.35696782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936960678557317 × 6371000     		du = 572.284123433698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35687799)-sin(-0.35696782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936992064505939-0.936960678557317)×R²
    abs(0.51340419-0.51330832)×3.13859486223977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13859486223977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13859486223977e-05×40589641000000     		ar = 327527.655596302m²