Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38121 / 36570
↖ ↑ ↗
← S 20.437308°
E 29.404907°		 ← 572.34 m → S 20.437308°
E 29.410400°		 →
↑
572.37 m
↓
↑
572.37 m
↓
S 20.442455°
E 29.404907°		 ← 572.32 m →
327 586 m²		 S 20.442455°
E 29.410400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581687927246094 y=0.558021545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581687927246094 × 216)
    floor (0.581687927246094 × 65536)
    floor (38121.5)     		tx = 38121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558021545410156 × 216)
    floor (0.558021545410156 × 65536)
    floor (36570.5)     		ty = 36570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38121 / 36570 ti = "16/38121/36570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38121/36570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38121 ÷ 216
    38121 ÷ 65536     		x = 0.581680297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36570 ÷ 216
    36570 ÷ 65536     		y = 0.558013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581680297851562 × 2 - 1) × π
    0.163360595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51321245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558013916015625 × 2 - 1) × π
    -0.11602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.364512184710907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51321245} λ = 0.51321245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364512184710907))-π/2
    2×atan(0.694535373228168)-π/2
    2×0.607049006411608-π/2
    1.21409801282322-1.57079632675     		φ = -0.35669831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51321245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.404907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35669831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.437308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38121 KachelY 36570 0.51321245 -0.35669831 29.404907 -20.437308
    Oben rechts KachelX + 1 38122 KachelY 36570 0.51330832 -0.35669831 29.410400 -20.437308
    Unten links KachelX 38121 KachelY + 1 36571 0.51321245 -0.35678815 29.404907 -20.442455
    Unten rechts KachelX + 1 38122 KachelY + 1 36571 0.51330832 -0.35678815 29.410400 -20.442455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35669831--0.35678815) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dl = 572.370640000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35669831--0.35678815) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dr = 572.370640000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51321245-0.51330832) × cos(-0.35669831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937054820703604 × 6371000     		do = 572.341624305292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51321245-0.51330832) × cos(-0.35678815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937023446386236 × 6371000     		du = 572.322461255951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35669831)-sin(-0.35678815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937054820703604-0.937023446386236)×R²
    abs(0.51330832-0.51321245)×3.13743173685488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13743173685488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13743173685488e-05×40589641000000     		ar = 327586.057839204m²