Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38119 / 36569
↖ ↑ ↗
← S 20.432160°
E 29.393921°		 ← 572.36 m → S 20.432160°
E 29.399414°		 →
↑
572.37 m
↓
↑
572.37 m
↓
S 20.437308°
E 29.393921°		 ← 572.34 m →
327 597 m²		 S 20.437308°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581657409667969 y=0.558006286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581657409667969 × 216)
    floor (0.581657409667969 × 65536)
    floor (38119.5)     		tx = 38119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558006286621094 × 216)
    floor (0.558006286621094 × 65536)
    floor (36569.5)     		ty = 36569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38119 / 36569 ti = "16/38119/36569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38119/36569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38119 ÷ 216
    38119 ÷ 65536     		x = 0.581649780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36569 ÷ 216
    36569 ÷ 65536     		y = 0.557998657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581649780273438 × 2 - 1) × π
    0.163299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51302070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557998657226562 × 2 - 1) × π
    -0.115997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.364416310911667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51302070} λ = 0.51302070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364416310911667))-π/2
    2×atan(0.694601964165218)-π/2
    2×0.607093926666263-π/2
    1.21418785333253-1.57079632675     		φ = -0.35660847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51302070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.393921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35660847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.432160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38119 KachelY 36569 0.51302070 -0.35660847 29.393921 -20.432160
    Oben rechts KachelX + 1 38120 KachelY 36569 0.51311657 -0.35660847 29.399414 -20.432160
    Unten links KachelX 38119 KachelY + 1 36570 0.51302070 -0.35669831 29.393921 -20.437308
    Unten rechts KachelX + 1 38120 KachelY + 1 36570 0.51311657 -0.35669831 29.399414 -20.437308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35660847--0.35669831) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dl = 572.370640000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35660847--0.35669831) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dr = 572.370640000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51302070-0.51311657) × cos(-0.35660847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937086187457792 × 6371000     		do = 572.360782735134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51302070-0.51311657) × cos(-0.35669831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937054820703604 × 6371000     		du = 572.341624305292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35660847)-sin(-0.35669831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937086187457792-0.937054820703604)×R²
    abs(0.51311657-0.51302070)×3.13667541878004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13667541878004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13667541878004e-05×40589641000000     		ar = 327597.024884084m²