Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38118 / 37099
↖ ↑ ↗
← S 23.135309°
E 29.388428°		 ← 561.67 m → S 23.135309°
E 29.393921°		 →
↑
561.67 m
↓
↑
561.67 m
↓
S 23.140360°
E 29.388428°		 ← 561.65 m →
315 465 m²		 S 23.140360°
E 29.393921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581642150878906 y=0.566093444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581642150878906 × 216)
    floor (0.581642150878906 × 65536)
    floor (38118.5)     		tx = 38118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566093444824219 × 216)
    floor (0.566093444824219 × 65536)
    floor (37099.5)     		ty = 37099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38118 / 37099 ti = "16/38118/37099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38118/37099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38118 ÷ 216
    38118 ÷ 65536     		x = 0.581634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37099 ÷ 216
    37099 ÷ 65536     		y = 0.566085815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581634521484375 × 2 - 1) × π
    0.16326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51292483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566085815429688 × 2 - 1) × π
    -0.132171630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.415229424508926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51292483} λ = 0.51292483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415229424508926))-π/2
    2×atan(0.660188799837734)-π/2
    2×0.583504508422199-π/2
    1.1670090168444-1.57079632675     		φ = -0.40378731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51292483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.388428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40378731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.135309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38118 KachelY 37099 0.51292483 -0.40378731 29.388428 -23.135309
    Oben rechts KachelX + 1 38119 KachelY 37099 0.51302070 -0.40378731 29.393921 -23.135309
    Unten links KachelX 38118 KachelY + 1 37100 0.51292483 -0.40387547 29.388428 -23.140360
    Unten rechts KachelX + 1 38119 KachelY + 1 37100 0.51302070 -0.40387547 29.393921 -23.140360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40378731--0.40387547) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dl = 561.667360000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40378731--0.40387547) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dr = 561.667360000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51292483-0.51302070) × cos(-0.40378731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919579543835434 × 6371000     		do = 561.66793891685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51292483-0.51302070) × cos(-0.40387547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919544901855439 × 6371000     		du = 561.64678001914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40378731)-sin(-0.40387547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919579543835434-0.919544901855439)×R²
    abs(0.51302070-0.51292483)×3.46419799956976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46419799956976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46419799956976e-05×40589641000000     		ar = 315464.606521113m²