Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38116 / 37100
↖ ↑ ↗
← S 23.140360°
E 29.377442°		 ← 561.65 m → S 23.140360°
E 29.382934°		 →
↑
561.67 m
↓
↑
561.67 m
↓
S 23.145411°
E 29.377442°		 ← 561.63 m →
315 453 m²		 S 23.145411°
E 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581611633300781 y=0.566108703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581611633300781 × 216)
    floor (0.581611633300781 × 65536)
    floor (38116.5)     		tx = 38116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566108703613281 × 216)
    floor (0.566108703613281 × 65536)
    floor (37100.5)     		ty = 37100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38116 / 37100 ti = "16/38116/37100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38116/37100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38116 ÷ 216
    38116 ÷ 65536     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37100 ÷ 216
    37100 ÷ 65536     		y = 0.56610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.1322021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.415325298308167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415325298308167))-π/2
    2×atan(0.660125508063338)-π/2
    2×0.583460427460222-π/2
    1.16692085492044-1.57079632675     		φ = -0.40387547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40387547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.140360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38116 KachelY 37100 0.51273308 -0.40387547 29.377442 -23.140360
    Oben rechts KachelX + 1 38117 KachelY 37100 0.51282895 -0.40387547 29.382934 -23.140360
    Unten links KachelX 38116 KachelY + 1 37101 0.51273308 -0.40396363 29.377442 -23.145411
    Unten rechts KachelX + 1 38117 KachelY + 1 37101 0.51282895 -0.40396363 29.382934 -23.145411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40387547--0.40396363) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dl = 561.667360000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40387547--0.40396363) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dr = 561.667360000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51282895) × cos(-0.40387547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919544901855439 × 6371000     		do = 561.64678001914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51282895) × cos(-0.40396363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919510252728569 × 6371000     		du = 561.625616756207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40387547)-sin(-0.40396363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919544901855439-0.919510252728569)×R²
    abs(0.51282895-0.51273308)×3.46491268694571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46491268694571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46491268694571e-05×40589641000000     		ar = 315452.721033198m²