Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38115 / 37092
↖ ↑ ↗
← S 23.099944°
E 29.371948°		 ← 561.87 m → S 23.099944°
E 29.377442°		 →
↑
561.86 m
↓
↑
561.86 m
↓
S 23.104997°
E 29.371948°		 ← 561.85 m →
315 688 m²		 S 23.104997°
E 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581596374511719 y=0.565986633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581596374511719 × 216)
    floor (0.581596374511719 × 65536)
    floor (38115.5)     		tx = 38115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565986633300781 × 216)
    floor (0.565986633300781 × 65536)
    floor (37092.5)     		ty = 37092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38115 / 37092 ti = "16/38115/37092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38115/37092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38115 ÷ 216
    38115 ÷ 65536     		x = 0.581588745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37092 ÷ 216
    37092 ÷ 65536     		y = 0.56597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581588745117188 × 2 - 1) × π
    0.163177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51263720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.414558307914246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51263720} λ = 0.51263720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414558307914246))-π/2
    2×atan(0.660632012203879)-π/2
    2×0.583813121635057-π/2
    1.16762624327011-1.57079632675     		φ = -0.40317008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51263720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.371948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40317008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.099944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38115 KachelY 37092 0.51263720 -0.40317008 29.371948 -23.099944
    Oben rechts KachelX + 1 38116 KachelY 37092 0.51273308 -0.40317008 29.377442 -23.099944
    Unten links KachelX 38115 KachelY + 1 37093 0.51263720 -0.40325827 29.371948 -23.104997
    Unten rechts KachelX + 1 38116 KachelY + 1 37093 0.51273308 -0.40325827 29.377442 -23.104997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40317008--0.40325827) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dl = 561.858489999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40317008--0.40325827) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dr = 561.858489999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51263720-0.51273308) × cos(-0.40317008) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.919821880717323 × 6371000     		do = 561.874557172192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51263720-0.51273308) × cos(-0.40325827) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.919787277009379 × 6371000     		du = 561.85341944598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40317008)-sin(-0.40325827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919821880717323-0.919787277009379)×R²
    abs(0.51273308-0.51263720)×3.46037079443917e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46037079443917e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46037079443917e-05×40589641000000     		ar = 315688.052261364m²