Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38114 / 36595
↖ ↑ ↗
← S 20.565939°
E 29.366455°		 ← 571.86 m → S 20.565939°
E 29.371948°		 →
↑
571.86 m
↓
↑
571.86 m
↓
S 20.571082°
E 29.366455°		 ← 571.84 m →
327 020 m²		 S 20.571082°
E 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581581115722656 y=0.558403015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581581115722656 × 216)
    floor (0.581581115722656 × 65536)
    floor (38114.5)     		tx = 38114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558403015136719 × 216)
    floor (0.558403015136719 × 65536)
    floor (36595.5)     		ty = 36595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38114 / 36595 ti = "16/38114/36595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38114/36595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38114 ÷ 216
    38114 ÷ 65536     		x = 0.581573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36595 ÷ 216
    36595 ÷ 65536     		y = 0.558395385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581573486328125 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558395385742188 × 2 - 1) × π
    -0.116790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.36690902969191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51254133} λ = 0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36690902969191))-π/2
    2×atan(0.692872673018043)-π/2
    2×0.605926489587627-π/2
    1.21185297917525-1.57079632675     		φ = -0.35894335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35894335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.565939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38114 KachelY 36595 0.51254133 -0.35894335 29.366455 -20.565939
    Oben rechts KachelX + 1 38115 KachelY 36595 0.51263720 -0.35894335 29.371948 -20.565939
    Unten links KachelX 38114 KachelY + 1 36596 0.51254133 -0.35903311 29.366455 -20.571082
    Unten rechts KachelX + 1 38115 KachelY + 1 36596 0.51263720 -0.35903311 29.371948 -20.571082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35894335--0.35903311) × R
    8.97599999999943e-05 × 6371000     		dl = 571.860959999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35894335--0.35903311) × R
    8.97599999999943e-05 × 6371000     		dr = 571.860959999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(-0.35894335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93626853170859 × 6371000     		do = 571.861368603451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(-0.35903311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936236996584442 × 6371000     		du = 571.842107335296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35894335)-sin(-0.35903311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93626853170859-0.936236996584442)×R²
    abs(0.51263720-0.51254133)×3.15351241476636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15351241476636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15351241476636e-05×40589641000000     		ar = 327019.684072346m²