Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38114 / 36593
↖ ↑ ↗
← S 20.555652°
E 29.366455°		 ← 571.90 m → S 20.555652°
E 29.371948°		 →
↑
571.92 m
↓
↑
571.92 m
↓
S 20.560796°
E 29.366455°		 ← 571.88 m →
327 078 m²		 S 20.560796°
E 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581581115722656 y=0.558372497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581581115722656 × 216)
    floor (0.581581115722656 × 65536)
    floor (38114.5)     		tx = 38114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558372497558594 × 216)
    floor (0.558372497558594 × 65536)
    floor (36593.5)     		ty = 36593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38114 / 36593 ti = "16/38114/36593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38114/36593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38114 ÷ 216
    38114 ÷ 65536     		x = 0.581573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36593 ÷ 216
    36593 ÷ 65536     		y = 0.558364868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581573486328125 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.116729736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.36671728209343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51254133} λ = 0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36671728209343))-π/2
    2×atan(0.693005542427435)-π/2
    2×0.606016256231689-π/2
    1.21203251246338-1.57079632675     		φ = -0.35876381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35876381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.555652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38114 KachelY 36593 0.51254133 -0.35876381 29.366455 -20.555652
    Oben rechts KachelX + 1 38115 KachelY 36593 0.51263720 -0.35876381 29.371948 -20.555652
    Unten links KachelX 38114 KachelY + 1 36594 0.51254133 -0.35885358 29.366455 -20.560796
    Unten rechts KachelX + 1 38115 KachelY + 1 36594 0.51263720 -0.35885358 29.371948 -20.560796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35876381--0.35885358) × R
    8.9769999999989e-05 × 6371000     		dl = 571.92466999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35876381--0.35885358) × R
    8.9769999999989e-05 × 6371000     		dr = 571.92466999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(-0.35876381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936331586348825 × 6371000     		do = 571.899881606549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51254133-0.51263720) × cos(-0.35885358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936300062801366 × 6371000     		du = 571.880627409294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35876381)-sin(-0.35885358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936331586348825-0.936300062801366)×R²
    abs(0.51263720-0.51254133)×3.15235474588338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15235474588338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15235474588338e-05×40589641000000     		ar = 327078.145305357m²