Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38112 / 37089
↖ ↑ ↗
← S 23.084785°
E 29.355469°		 ← 561.94 m → S 23.084785°
E 29.360962°		 →
↑
561.86 m
↓
↑
561.86 m
↓
S 23.089838°
E 29.355469°		 ← 561.92 m →
315 724 m²		 S 23.089838°
E 29.360962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581550598144531 y=0.565940856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581550598144531 × 216)
    floor (0.581550598144531 × 65536)
    floor (38112.5)     		tx = 38112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565940856933594 × 216)
    floor (0.565940856933594 × 65536)
    floor (37089.5)     		ty = 37089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38112 / 37089 ti = "16/38112/37089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38112/37089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38112 ÷ 216
    38112 ÷ 65536     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37089 ÷ 216
    37089 ÷ 65536     		y = 0.565933227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565933227539062 × 2 - 1) × π
    -0.131866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.414270686516525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414270686516525))-π/2
    2×atan(0.660822051434973)-π/2
    2×0.583945409324623-π/2
    1.16789081864925-1.57079632675     		φ = -0.40290551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40290551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.084785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38112 KachelY 37089 0.51234958 -0.40290551 29.355469 -23.084785
    Oben rechts KachelX + 1 38113 KachelY 37089 0.51244546 -0.40290551 29.360962 -23.084785
    Unten links KachelX 38112 KachelY + 1 37090 0.51234958 -0.40299370 29.355469 -23.089838
    Unten rechts KachelX + 1 38113 KachelY + 1 37090 0.51244546 -0.40299370 29.360962 -23.089838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40290551--0.40299370) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dl = 561.858489999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40290551--0.40299370) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dr = 561.858489999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51244546) × cos(-0.40290551) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.919925648916724 × 6371000     		do = 561.937944131023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51244546) × cos(-0.40299370) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.919891066671264 × 6371000     		du = 561.916819515203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40290551)-sin(-0.40299370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919925648916724-0.919891066671264)×R²
    abs(0.51244546-0.51234958)×3.45822454591582e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.45822454591582e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.45822454591582e-05×40589641000000     		ar = 315723.670445206m²