Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38111 / 37090
↖ ↑ ↗
← S 23.089838°
E 29.349976°		 ← 561.86 m → S 23.089838°
E 29.355469°		 →
↑
561.92 m
↓
↑
561.92 m
↓
S 23.094892°
E 29.349976°		 ← 561.84 m →
315 715 m²		 S 23.094892°
E 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581535339355469 y=0.565956115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581535339355469 × 216)
    floor (0.581535339355469 × 65536)
    floor (38111.5)     		tx = 38111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565956115722656 × 216)
    floor (0.565956115722656 × 65536)
    floor (37090.5)     		ty = 37090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38111 / 37090 ti = "16/38111/37090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38111/37090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38111 ÷ 216
    38111 ÷ 65536     		x = 0.581527709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37090 ÷ 216
    37090 ÷ 65536     		y = 0.565948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581527709960938 × 2 - 1) × π
    0.163055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51225371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.13189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.414366560315765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51225371} λ = 0.51225371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414366560315765))-π/2
    2×atan(0.66075869895125)-π/2
    2×0.583901311770005-π/2
    1.16780262354001-1.57079632675     		φ = -0.40299370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51225371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.349976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40299370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.089838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38111 KachelY 37090 0.51225371 -0.40299370 29.349976 -23.089838
    Oben rechts KachelX + 1 38112 KachelY 37090 0.51234958 -0.40299370 29.355469 -23.089838
    Unten links KachelX 38111 KachelY + 1 37091 0.51225371 -0.40308190 29.349976 -23.094892
    Unten rechts KachelX + 1 38112 KachelY + 1 37091 0.51234958 -0.40308190 29.355469 -23.094892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40299370--0.40308190) × R
    8.81999999999827e-05 × 6371000     		dl = 561.92219999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40299370--0.40308190) × R
    8.81999999999827e-05 × 6371000     		dr = 561.92219999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51225371-0.51234958) × cos(-0.40299370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919891066671264 × 6371000     		do = 561.858213255051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51225371-0.51234958) × cos(-0.40308190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919856473348824 × 6371000     		du = 561.83708407678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40299370)-sin(-0.40308190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919891066671264-0.919856473348824)×R²
    abs(0.51234958-0.51225371)×3.45933224408235e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45933224408235e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45933224408235e-05×40589641000000     		ar = 315714.667007793m²