Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38110 / 37085
↖ ↑ ↗
← S 23.064570°
E 29.344483°		 ← 561.96 m → S 23.064570°
E 29.349976°		 →
↑
561.99 m
↓
↑
561.99 m
↓
S 23.069624°
E 29.344483°		 ← 561.94 m →
315 810 m²		 S 23.069624°
E 29.349976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581520080566406 y=0.565879821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581520080566406 × 216)
    floor (0.581520080566406 × 65536)
    floor (38110.5)     		tx = 38110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565879821777344 × 216)
    floor (0.565879821777344 × 65536)
    floor (37085.5)     		ty = 37085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38110 / 37085 ti = "16/38110/37085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38110/37085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38110 ÷ 216
    38110 ÷ 65536     		x = 0.581512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37085 ÷ 216
    37085 ÷ 65536     		y = 0.565872192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581512451171875 × 2 - 1) × π
    0.16302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51215784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565872192382812 × 2 - 1) × π
    -0.131744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.413887191319565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51215784} λ = 0.51215784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.413887191319565))-π/2
    2×atan(0.661075522117032)-π/2
    2×0.584121816117498-π/2
    1.168243632235-1.57079632675     		φ = -0.40255269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51215784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.344483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40255269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.064570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38110 KachelY 37085 0.51215784 -0.40255269 29.344483 -23.064570
    Oben rechts KachelX + 1 38111 KachelY 37085 0.51225371 -0.40255269 29.349976 -23.064570
    Unten links KachelX 38110 KachelY + 1 37086 0.51215784 -0.40264090 29.344483 -23.069624
    Unten rechts KachelX + 1 38111 KachelY + 1 37086 0.51225371 -0.40264090 29.349976 -23.069624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40255269--0.40264090) × R
    8.8210000000033e-05 × 6371000     		dl = 561.98591000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40255269--0.40264090) × R
    8.8210000000033e-05 × 6371000     		dr = 561.98591000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51215784-0.51225371) × cos(-0.40255269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.920063929854971 × 6371000     		do = 561.963795973542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51215784-0.51225371) × cos(-0.40264090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.920029368397804 × 6371000     		du = 561.942686258191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40255269)-sin(-0.40264090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920063929854971-0.920029368397804)×R²
    abs(0.51225371-0.51215784)×3.45614571666264e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45614571666264e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45614571666264e-05×40589641000000     		ar = 315809.803790881m²