Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38109 / 37094
↖ ↑ ↗
← S 23.110049°
E 29.338989°		 ← 561.83 m → S 23.110049°
E 29.344483°		 →
↑
561.79 m
↓
↑
561.79 m
↓
S 23.115102°
E 29.338989°		 ← 561.81 m →
315 629 m²		 S 23.115102°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581504821777344 y=0.566017150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581504821777344 × 216)
    floor (0.581504821777344 × 65536)
    floor (38109.5)     		tx = 38109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566017150878906 × 216)
    floor (0.566017150878906 × 65536)
    floor (37094.5)     		ty = 37094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38109 / 37094 ti = "16/38109/37094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38109/37094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38109 ÷ 216
    38109 ÷ 65536     		x = 0.581497192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37094 ÷ 216
    37094 ÷ 65536     		y = 0.566009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581497192382812 × 2 - 1) × π
    0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566009521484375 × 2 - 1) × π
    -0.13201904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.414750055512726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51206196} λ = 0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414750055512726))-π/2
    2×atan(0.660505349746059)-π/2
    2×0.583724938134361-π/2
    1.16744987626872-1.57079632675     		φ = -0.40334645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40334645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.110049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38109 KachelY 37094 0.51206196 -0.40334645 29.338989 -23.110049
    Oben rechts KachelX + 1 38110 KachelY 37094 0.51215784 -0.40334645 29.344483 -23.110049
    Unten links KachelX 38109 KachelY + 1 37095 0.51206196 -0.40343463 29.338989 -23.115102
    Unten rechts KachelX + 1 38110 KachelY + 1 37095 0.51215784 -0.40343463 29.344483 -23.115102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40334645--0.40343463) × R
    8.81799999999933e-05 × 6371000     		dl = 561.794779999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40334645--0.40343463) × R
    8.81799999999933e-05 × 6371000     		dr = 561.794779999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51206196-0.51215784) × cos(-0.40334645) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.919752670072795 × 6371000     		do = 561.83227974755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51206196-0.51215784) × cos(-0.40343463) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.919718055984479 × 6371000     		du = 561.811135680474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40334645)-sin(-0.40343463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919752670072795-0.919718055984479)×R²
    abs(0.51215784-0.51206196)×3.4614088315732e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4614088315732e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4614088315732e-05×40589641000000     		ar = 315628.502888942m²