Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38109 / 36599
↖ ↑ ↗
← S 20.586510°
E 29.338989°		 ← 571.84 m → S 20.586510°
E 29.344483°		 →
↑
571.80 m
↓
↑
571.80 m
↓
S 20.591652°
E 29.338989°		 ← 571.82 m →
326 973 m²		 S 20.591652°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581504821777344 y=0.558464050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581504821777344 × 216)
    floor (0.581504821777344 × 65536)
    floor (38109.5)     		tx = 38109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558464050292969 × 216)
    floor (0.558464050292969 × 65536)
    floor (36599.5)     		ty = 36599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38109 / 36599 ti = "16/38109/36599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38109/36599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38109 ÷ 216
    38109 ÷ 65536     		x = 0.581497192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36599 ÷ 216
    36599 ÷ 65536     		y = 0.558456420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581497192382812 × 2 - 1) × π
    0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558456420898438 × 2 - 1) × π
    -0.116912841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.36729252488887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51206196} λ = 0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36729252488887))-π/2
    2×atan(0.692607010619218)-π/2
    2×0.605746974440903-π/2
    1.21149394888181-1.57079632675     		φ = -0.35930238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35930238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.586510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38109 KachelY 36599 0.51206196 -0.35930238 29.338989 -20.586510
    Oben rechts KachelX + 1 38110 KachelY 36599 0.51215784 -0.35930238 29.344483 -20.586510
    Unten links KachelX 38109 KachelY + 1 36600 0.51206196 -0.35939213 29.338989 -20.591652
    Unten rechts KachelX + 1 38110 KachelY + 1 36600 0.51215784 -0.35939213 29.344483 -20.591652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35930238--0.35939213) × R
    8.97499999999996e-05 × 6371000     		dl = 571.797249999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35930238--0.35939213) × R
    8.97499999999996e-05 × 6371000     		dr = 571.797249999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51206196-0.51215784) × cos(-0.35930238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936142349470459 × 6371000     		do = 571.843939664332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51206196-0.51215784) × cos(-0.35939213) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936110787693217 × 6371000     		du = 571.824660105993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35930238)-sin(-0.35939213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936142349470459-0.936110787693217)×R²
    abs(0.51215784-0.51206196)×3.15617772421728e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15617772421728e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15617772421728e-05×40589641000000     		ar = 326973.280349544m²