Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38108 / 37084
↖ ↑ ↗
← S 23.059516°
E 29.333496°		 ← 561.98 m → S 23.059516°
E 29.338989°		 →
↑
561.99 m
↓
↑
561.99 m
↓
S 23.064570°
E 29.333496°		 ← 561.96 m →
315 822 m²		 S 23.064570°
E 29.338989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581489562988281 y=0.565864562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581489562988281 × 216)
    floor (0.581489562988281 × 65536)
    floor (38108.5)     		tx = 38108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565864562988281 × 216)
    floor (0.565864562988281 × 65536)
    floor (37084.5)     		ty = 37084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38108 / 37084 ti = "16/38108/37084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38108/37084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38108 ÷ 216
    38108 ÷ 65536     		x = 0.58148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37084 ÷ 216
    37084 ÷ 65536     		y = 0.56585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.413791317520325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51196609} λ = 0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.413791317520325))-π/2
    2×atan(0.661138904977251)-π/2
    2×0.584165921957914-π/2
    1.16833184391583-1.57079632675     		φ = -0.40246448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40246448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.059516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38108 KachelY 37084 0.51196609 -0.40246448 29.333496 -23.059516
    Oben rechts KachelX + 1 38109 KachelY 37084 0.51206196 -0.40246448 29.338989 -23.059516
    Unten links KachelX 38108 KachelY + 1 37085 0.51196609 -0.40255269 29.333496 -23.064570
    Unten rechts KachelX + 1 38109 KachelY + 1 37085 0.51206196 -0.40255269 29.338989 -23.064570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40246448--0.40255269) × R
    8.82099999999775e-05 × 6371000     		dl = 561.985909999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40246448--0.40255269) × R
    8.82099999999775e-05 × 6371000     		dr = 561.985909999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51196609-0.51206196) × cos(-0.40246448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.920098484153116 × 6371000     		do = 561.98490131625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51196609-0.51206196) × cos(-0.40255269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.920063929854971 × 6371000     		du = 561.963795973542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40246448)-sin(-0.40255269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920098484153116-0.920063929854971)×R²
    abs(0.51206196-0.51196609)×3.45542981453617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45542981453617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45542981453617e-05×40589641000000     		ar = 315821.665924642m²